Lineaariyhtälön ja toisen asteen yhtälön välinen ero

2024 Kirjoittaja: Alex Aldridge | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2023-12-17 13:38

Lineaarinen yhtälö vs. toisen asteen yhtälö

Matematiikassa algebralliset yhtälöt ovat yhtälöitä, jotka muodostetaan polynomien avulla. Eksplisiittisesti kirjoitettuina yhtälöt ovat muotoa P(x)=0, missä x on n tuntemattoman muuttujan vektori ja P on polynomi. Esimerkiksi P(x, y)=x⁴ + y³ + x²y + 5=0 on kahden eksplisiittisesti kirjoitetun muuttujan algebrallinen yhtälö. Lisäksi (x+y)³=3x²y – 3zy⁴ on algebrallinen yhtälö, mutta implisiittisessä muodossa. Se on muotoa Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy² +3zy^{4=0, kun se on kirjoitettu erikseen.}

Algebrallisen yhtälön tärkeä ominaisuus on sen aste. Se määritellään yhtälössä esiintyvien termien suurimmaksi tehoksi. Jos termi koostuu kahdesta tai useammasta muuttujasta, kunkin muuttujan eksponentien summaa pidetään termin potenssina. Huomaa, että tämän määritelmän mukaan P(x, y)=0 on astetta 4, kun taas Q(x, y, z)=0 on astetta 5.

Lineaariset yhtälöt ja toisen asteen yhtälöt ovat kaksi eri tyyppiä algebrallisia yhtälöitä. Yhtälön aste on tekijä, joka erottaa ne muista algebrallisista yhtälöistä.

Mikä on lineaarinen yhtälö?

Lineaarinen yhtälö on asteen 1 algebrallinen yhtälö. Esimerkiksi 4x + 5=0 on yhden muuttujan lineaarinen yhtälö. x + y + 5z=0 ja 4x=3w + 5y + 7z ovat 3 ja 4 muuttujan lineaarisia yhtälöitä. Yleensä n muuttujan lineaarinen yhtälö on muotoa m₁x₁+m 2_x2_{+…+ m}n-1_{x n-1}+ m_nx_n =b. Tässä x_i:t ovat tuntemattomia muuttujia, m_i:t ja b ovat reaalilukuja, joissa jokainen m_i ei ole nolla.

Tällainen yhtälö edustaa hypertasoa n-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa. Erityisesti kaksimuuttujainen lineaarinen yhtälö edustaa suoraa suoraa suorakulmaisessa tasossa ja kolmen muuttujan lineaarinen yhtälö edustaa tasoa euklidisessa 3-avaruudessa.

Mikä on toisen asteen yhtälö?

Asetettu yhtälö on toisen asteen algebrallinen yhtälö. x² + 3x + 2=0 on yhden muuttujan toisen asteen yhtälö. x² + y² + 3x=4 ja 4x² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 ovat esimerkkejä 2 ja 3 muuttujan toisen asteen yhtälöistä.}

Yksittäisen muuttujan tapauksessa toisen asteen yhtälön yleinen muoto on ax² + bx + c=0. Missä a, b, c ovat reaalilukuja, joista 'a' ei ole nolla. Diskriminantti ∆=(b^{2 – 4ac) määrittää toisen yhtälön juurien luonteen. Yhtälön juuret ovat todellisia erillisiä, todellisia samank altaisia ja monimutkaisia sen mukaan, että ∆ on positiivinen, nolla ja negatiivinen. Yhtälön juuret löytyvät helposti kaavalla x=(- b ± √∆) / 2a.}

Kahden muuttujan tapauksessa yleinen muoto olisi ax² + by^{2 + cxy + dx + ex + f=0, ja tämä edustaa kartiomaista (paraabelia, hyperbolia tai ellipsiä) karteesisessa tasossa. Suuremmissa ulottuvuuksissa tämän tyyppiset yhtälöt edustavat hyperpintoja, jotka tunnetaan neliöinä.}

Mitä eroa on lineaarisilla ja toisen asteen yhtälöillä?

• Lineaarinen yhtälö on asteen 1 algebrallinen yhtälö, kun taas toisen asteen yhtälö on 2-asteinen algebrallinen yhtälö.

• N-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa n-muuttujan lineaarisen yhtälön ratkaisuavaruus on hypertaso, kun taas n-muuttujaisen toisen asteen yhtälön ratkaisuavaruus on nelipinta.