Integraatio vs. summaus
Yläkoulun matematiikan yläpuolella integrointi ja summaus esiintyvät usein matemaattisissa operaatioissa. Niitä näennäisesti käytetään erilaisina työkaluina ja eri tilanteissa, mutta niillä on hyvin läheinen suhde.
Lisätietoja summauksesta
Summaus on operaatio numerosarjan lisäämiseksi ja operaatiota merkitään usein kreikkalaisella isolla sigma-kirjaimella Σ. Sitä käytetään summauksen lyhentämiseen ja se on yhtä suuri kuin sekvenssin summa/summa. Niitä käytetään usein edustamaan sarjoja, jotka pohjimmiltaan ovat yhteenlaskettuja äärettömiä sekvenssejä. Niitä voidaan käyttää myös osoittamaan vektorien, matriisien tai polynomien summaa.
Summaus tehdään yleensä arvoalueelle, joka voidaan esittää yleisellä termillä, kuten sarjalla, jolla on yhteinen termi. Summauksen aloituspiste ja loppupiste tunnetaan summauksen alarajana ja ylärajana.
Esimerkiksi sekvenssin a1, a2, a3, a summa. 4, …, an on a1 + a2 + a 3 + … + an, joka voidaan helposti esittää käyttämällä summausmerkintää muodossa ∑ i=1 ai; minua kutsutaan summausindeksiksi.
Sovelluspohjaiseen summaukseen käytetään monia muunnelmia. Joissakin tapauksissa ylä- ja alaraja voidaan antaa välinä tai vaihteluvälinä, kuten ∑1≤i≤100 ai ja ∑i∈[1, 100] ai Tai se voidaan antaa numerosarjana, kuten ∑i∈P ai, jossa P on määritelty joukko.
Joissakin tapauksissa voidaan käyttää kahta tai useampaa sigmamerkkiä, mutta ne voidaan yleistää seuraavasti; ∑j ∑k ajk =∑j, k a jk.
Lisäksi summaus noudattaa monia algebrallisia sääntöjä. Koska upotettu operaatio on yhteenlasku, monia algebran yleisiä sääntöjä voidaan soveltaa itse summiin ja summauksen kuvaamiin yksittäisiin termeihin.
Lisätietoja integraatiosta
Integraatio määritellään käänteiseksi erilaistumisprosessiksi. Mutta sen geometrisessa näkymässä sitä voidaan pitää myös funktion käyrän ja akselin ympäröimänä alueena. Siksi pinta-alan laskeminen antaa määrätyn integraalin arvon kaavion mukaisesti.
Kuvan lähde:
Varman integraalin arvo on itse asiassa käyrän ja akselin sisällä olevien pienten kaistaleiden summa. Kunkin nauhan pinta-ala on korkeus × leveys tarkasteltavan akselin pisteessä. Leveys on arvo, jonka voimme valita, esimerkiksi ∆x. Ja korkeus on suunnilleen funktion arvo tarkasteltavassa pisteessä, sanotaan f (xi). Kaaviosta käy ilmi, että mitä pienemmät nauhat ovat sitä paremmin, ne sopivat rajatun alueen sisään, joten arvon parempi approksimaatio.
Joten, yleensä pisteiden a ja b välissä oleva määrätty integraali I (eli välissä [a, b], jossa a<b) voidaan antaa muodossa I ≅ f (x1)∆x + f (x2)∆x + ⋯ + f (xn)∆x, missä n on liuskojen lukumäärä (n=(b-a)/∆x). Tämä alueen summa voidaan helposti esittää summausmerkinnällä I ≅ ∑i=1 f (xi)∆x. Koska approksimaatio on parempi, kun ∆x on pienempi, voimme laskea arvon, kun ∆x→0. Siksi on järkevää sanoa, että I=lim∆x→0 ∑i=1 f (xi)∆x.
Yleistyksenä yllä olevasta käsitteestä, voimme valita ∆x i:llä indeksoidun tarkastellun intervallin perusteella (valitsemalla alueen leveyden sijainnin perusteella). Sitten saamme
I=lim∆x→0 ∑i=1 f (x i) ∆xi=a∫b f (x)dx
Tämä tunnetaan funktion f (x) Reimannin integraalina välissä [a, b]. Tässä tapauksessa a ja b tunnetaan integraalin ylä- ja alarajana. Reimann-integraali on kaikkien integrointimenetelmien perusmuoto.
Pohjimmiltaan integrointi on alueen summaus, kun suorakulmion leveys on äärettömän pieni.
Mitä eroa on integraation ja summauksen välillä?
• Summaus on numerosarjan yhteenlasku. Yleensä summa annetaan tässä muodossa ∑i=1 ai kun termit ovat järjestyksessä niillä on kuvio ja se voidaan ilmaista yleisellä termillä.
• Integrointi on pohjimmiltaan funktion käyrän, akselin sekä ylä- ja alarajojen rajaama alue. Tämä alue voidaan antaa rajattuun alueeseen sisältyvien paljon pienempien alueiden summana.
• Summaus sisältää diskreetit arvot ylä- ja alarajoilla, kun taas integrointi sisältää jatkuvia arvoja.
• Integrointi voidaan tulkita erityiseksi summausmuodoksi.
• Numeerisissa laskentamenetelmissä integrointi suoritetaan aina summauksena.
