Lineaarisen yhtälön ja epälineaarisen yhtälön välinen ero

2024 Kirjoittaja: Alex Aldridge | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2023-12-17 13:38

Lineaarinen yhtälö vs epälineaarinen yhtälö

Matematiikassa algebralliset yhtälöt ovat yhtälöitä, jotka muodostetaan polynomeilla. Eksplisiittisesti kirjoitettuina yhtälöt ovat muotoa P(x)=0, missä x on n tuntemattoman muuttujan vektori ja P on polynomi. Esimerkiksi P(x, y)=4x⁵ + xy³ + y + 10=0 on algebrallinen yhtälö kahdessa eksplisiittisesti kirjoitetussa muuttujassa. Lisäksi (x+y)³ =3x²y – 3zy⁴ on algebrallinen yhtälö, mutta implisiittisessä muodossa ja se saa muotoa Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy ² +3zy^{4=0, kun se on kirjoitettu erikseen.}

Algebrallisen yhtälön tärkeä ominaisuus on sen aste. Se määritellään yhtälössä esiintyvien termien suurimmaksi tehoksi. Jos termi koostuu kahdesta tai useammasta muuttujasta, kunkin muuttujan eksponentien summaa pidetään termin potenssina. Huomaa, että tämän määritelmän mukaan P(x, y)=0 on astetta 5, kun taas Q(x, y, z)=0 on 5-asteista.

Lineaariset yhtälöt ja epälineaariset yhtälöt ovat kaksiosioita, jotka on määritelty algebrallisten yhtälöiden joukossa. Yhtälön aste on tekijä, joka erottaa ne toisistaan.

Mikä on lineaarinen yhtälö?

Lineaarinen yhtälö on asteen 1 algebrallinen yhtälö. Esimerkiksi 4x + 5=0 on yhden muuttujan lineaarinen yhtälö. x + y + 5z=0 ja 4x=3w + 5y + 7z ovat 3 ja 4 muuttujan lineaarisia yhtälöitä. Yleensä n muuttujan lineaarinen yhtälö on muotoa m₁x₁ + m₂x ₂ +…+ m_n-1x_n-1 + m_{n x}n _{=b. Tässä x}i_{:t ovat tuntemattomia muuttujia, m}i_{:t ja b ovat reaalilukuja, joissa jokainen m}i _{ei ole nolla.}

Tällainen yhtälö edustaa hypertasoa n-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa. Erityisesti kaksimuuttujainen lineaarinen yhtälö edustaa suoraa suoraa suorakulmaisessa tasossa ja kolmen muuttujan lineaarinen yhtälö edustaa tasoa euklidisessa 3-avaruudessa.

Mikä on epälineaarinen yhtälö?

Asetettu yhtälö on algebrallinen yhtälö, joka ei ole lineaarinen. Toisin sanoen epälineaarinen yhtälö on algebrallinen yhtälö, jonka aste on 2 tai korkeampi. x² + 3x + 2=0 on yksimuuttuja epälineaarinen yhtälö. x² + y³+ 3xy=4 ja 8yzx² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 ovat esimerkkejä epälineaarisista yhtälöistä, joissa on 3 ja 4 muuttujaa.}

Toisen asteen epälineaarista yhtälöä kutsutaan toisen asteen yhtälöksi. Jos aste on 3, sitä kutsutaan kuutioyhtälöksi. Asteen 4 ja asteen 5 yhtälöjä kutsutaan vastaavasti kvartisiksi ja kvinttisiksi yhtälöiksi. On todistettu, että ei ole olemassa analyyttistä menetelmää minkä tahansa asteen 5 epälineaarisen yhtälön ratkaisemiseksi, ja tämä pätee myös korkeampaan asteeseen. Ratkaistavat epälineaariset yhtälöt edustavat hyperpintoja, jotka eivät ole hypertasoja.

Mitä eroa on lineaarisella yhtälöllä ja epälineaarisella yhtälöllä?

• Lineaarinen yhtälö on asteen 1 algebrallinen yhtälö, mutta epälineaarinen yhtälö on astetta 2 tai korkeampi algebrallinen yhtälö.

• Vaikka mikä tahansa lineaarinen yhtälö on analyyttisesti ratkaistavissa, se ei ole epälineaarisissa yhtälöissä.

• N-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa n-muuttujan lineaarisen yhtälön ratkaisuavaruus on hypertaso, kun taas n-muuttujaisen epälineaarisen yhtälön ratkaisuavaruus on hyperpinta, joka ei ole hypertaso. (neliöpinnat, kuutiopinnat jne.)