Kardinaali vs Ordinaal
Jokapäiväisessä elämässämme numeroiden käyttö voi esiintyä eri muodoissa eri tilanteissa. Esimerkiksi kun laskemme selvittääksemme objektikokoelman koon, laskemme ne yhdeksi, kahdeksi, kolmeksi ja niin edelleen. Kun haluamme laskea jotain saadaksemme käsityksen esineiden sijainnista, laskemme ne ensimmäiseksi, toiseksi, kolmanneksi ja niin edelleen. Ensimmäisessä laskentamuodossa lukujen sanotaan olevan kardinaalilukuja. Toisessa laskentamuodossa numeroita pidetään järjestyslukuina. Tässä yhteydessä käsitteet kardinaali ja ordinaal ovat täysin kielitieteen asia; kardinaali ja järjestys ovat adjektiiveja.
Konseptin laajentaminen matematiikan joukkoihin paljastaa kuitenkin paljon syvemmän ja laajemman näkökulman, eikä sitä voida käsitellä yksinkertaisesti. Tässä artikkelissa yritämme ymmärtää matematiikan kardinaali- ja järjestyslukujen peruskäsitteet.
Kardinaali- ja järjestyslukujen muodolliset määritelmät on annettu joukkoteoriassa. Määritelmät ovat monimutkaisia ja niiden täydellisessä merkityksessä ymmärtäminen vaatii joukkoteorian taustatietoa. Siksi käännymme muutaman esimerkin puoleen ymmärtääksemme käsitteet heuristisesti.
Harkitse kahta sarjaa {1, 3, 6, 4, 5, 2} ja {bussi, auto, lautta, juna, lentokone, helikopteri}. Jokainen joukko luettelee joukon elementtejä, ja jos laskemme elementtien lukumäärän, on selvää, että jokaisessa on sama määrä elementtejä, mikä on 6. Päädymme tähän johtopäätökseen yhden joukon koon ja vertaamme sitä toiseen käyttämällä määrä. Tällaista numeroa kutsutaan kardinaaliluvuksi. Siksi voimme sanoa, että kardinaaliluku on luku, jolla voimme verrata äärellisten joukkojen kokoa.
Jälleen ensimmäinen numerosarja voidaan järjestää nousevaan järjestykseen kunkin elementin koon mukaan ja niitä vertaamalla. Tilausprosessissa numeroita pidetään kardinaaleina. Samoin kaikkien ei-negatiivisten kokonaislukujen joukko voidaan järjestää joukkoon; eli {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Mutta tässä tapauksessa joukon koosta tulee ääretön, eikä sen antaminen järjestyslukuina ole mahdollista. Riippumatta siitä, kuinka suuren luvun valitset joukon koon määrittämiseksi, valitsemastasi joukosta jää silti pois numeroita, jotka ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja.
Siksi matemaatikot määrittelevät tämän äärettömän kardinaalin (joka on ensimmäinen) nimellä Aleph-0, kirjoitettuna א (heprean aakkosten ensimmäinen kirjain). Muodollisesti järjestysnumero on hyvin järjestetyn sarjan tilaustyyppi. Siksi äärellisten joukkojen järjestysluku voidaan antaa kardinaaliluvuilla, mutta äärettömille joukoille järjestysluku annetaan äärellisillä luvuilla, kuten Aleph-0.
Mitä eroa kardinaali- ja järjestysluvuilla on?
• Kardinaaliluku on luku, jota voidaan käyttää laskemaan tai antamaan äärellisen järjestetyn joukon koko. Kaikki kardinaaliluvut ovat järjestyslukuja.
• Järjestysluvut ovat numeroita, joita käytetään osoittamaan sekä äärellisten että äärettömien järjestetyn joukon koko. Äärellisten järjestysjoukkojen koko ilmoitetaan tavanomaisilla hindu-arabialaisilla algebrallisilla numeroilla ja äärettömän joukon koko annetaan äärellisillä luvuilla.
