Definite vs Indefinite Integraalit
Laskennat ovat tärkeä matematiikan haara, ja differentiaatiolla on ratkaiseva rooli laskennassa. Differentioinnin käänteinen prosessi tunnetaan integraationa, ja käänteinen tunnetaan integraalina, tai yksinkertaisesti sanottuna, differentioinnin käänteis antaa integraalin. Niiden tuottamien tulosten perusteella integraalit jaetaan kahteen luokkaan; määrälliset ja epämääräiset integraalit.
Lisätietoja Indefinite Integraaleista
Epämääräinen integraali on enemmänkin yleinen integroinnin muoto, ja se voidaan tulkita tarkasteltavan funktion antiderivaataksi. Oletetaan, että F:n differentiaatio antaa f:n ja f:n integrointi integraalin. Se kirjoitetaan usein muodossa F(x)=∫ƒ(x)dx tai F=∫ƒ dx, missä sekä F että ƒ ovat x:n funktioita ja F on differentioituva. Yllä olevassa muodossa sitä kutsutaan Reimannin integraaliksi ja tuloksena oleva funktio liittyy mieliv altaiseen vakioon. Epämääräinen integraali tuottaa usein funktioperheen; siksi integraali on epämääräinen.
Integralit ja integrointiprosessi ovat differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisen ytimessä. Toisin kuin eriyttäminen, integrointi ei kuitenkaan aina noudata selkeää ja vakiorutiinia; joskus ratkaisua ei voida ilmaista eksplisiittisesti alkeisfunktiona. Siinä tapauksessa analyyttinen ratkaisu annetaan usein määrittelemättömän integraalin muodossa.
Lisätietoja Definite Integraaleista
Määrälliset integraalit ovat epämääräisten integraalien paljon arvostettuja vastineita, joissa integrointiprosessi todella tuottaa äärellisen luvun. Se voidaan määritellä graafisesti funktion ƒ käyrän rajaamana alueena tietyllä aikavälillä. Aina kun integrointi suoritetaan riippumattoman muuttujan tietyllä aikavälillä, integrointi tuottaa määrätyn arvon, joka kirjoitetaan usein muodossa a∫bƒ(x) dx tai a∫b ƒdx.
Epämääräiset integraalit ja määrälliset integraalit on kytketty toisiinsa laskennan ensimmäisen peruslauseen kautta, mikä mahdollistaa määrätyn integraalin laskemisen epämääräisten integraalien avulla. Lauseen mukaan a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a) missä sekä F että ƒ ovat x:n funktioita, ja F on differentioituva välissä (a, b). Kun otetaan huomioon väli, a ja b tunnetaan alarajana ja vastaavasti ylärajana.
Vain todellisiin funktioihin pysähtymisen sijaan integrointi voidaan laajentaa monimutkaisiin funktioihin ja näitä integraaleja kutsutaan ääriviivaintegraaleiksi, joissa ƒ on kompleksisen muuttujan funktio.
Mitä eroa on määriteltyjen ja määrittelemättömien integraalien välillä?
Epämääräiset integraalit edustavat funktion antiderivaattia, ja usein funktioperhettä, eikä määrättyä ratkaisua. Määrätyissä integraaleissa integrointi antaa äärellisen luvun.
Epämääräiset integraalit yhdistävät mieliv altaisen muuttujan (siis funktioperheen) ja määrätyillä integraaleilla ei ole mieliv altaista vakiota, vaan integroinnin ylä- ja alaraja.
Epämääräinen integraali antaa yleensä yleisen ratkaisun differentiaaliyhtälöön.
