Aritmeettisen ja geometrisen sarjan ero

2024 Kirjoittaja: Alex Aldridge | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2023-12-17 13:38

Aritmeettinen vs geometrinen sarja

Sarjan matemaattinen määritelmä liittyy läheisesti sekvensseihin. Joukko on järjestetty numerosarja ja se voi olla joko äärellinen tai ääretön joukko. Lukusarjaa, jossa kahden elementin välinen ero on vakio, kutsutaan aritmeettiseksi progressioksi. Jaksoa, jossa on kahden peräkkäisen luvun vakioosamäärä, kutsutaan geometriseksi progressioksi. Nämä progressiot voivat olla joko äärellisiä tai äärellisiä, ja jos ne ovat äärellisiä, termien määrä on laskettavissa, muuten lukematon.

Yleensä etenemisen elementtien summa voidaan määritellä sarjaksi. Aritmeettisen progression summa tunnetaan aritmeettisena sarjana. Samoin geometrisen progression summa tunnetaan geometrisena sarjana.

Lisätietoja Aritmetiikkasarjasta

Aritmeettisessa sarjassa peräkkäisillä termeillä on jatkuva ero.

S_n =a₁ + a₂ + a_{3+ a}4 _{+⋯+ a}n _=∑i=1_ai_{; jossa a}2 _=a1 _{+ d, a}3 _=a2 _{+ d ja niin edelleen.}

Tämä ero d tunnetaan yhteisenä erona, ja termi n^th saadaan kaavalla a_n =a ₁+ (n-1)d; jossa a_{1 on ensimmäinen termi.}

Sarjan käyttäytyminen muuttuu yhteisen eron d perusteella. Jos yhteinen ero on positiivinen, eteneminen on taipumus olla positiivinen ääretön, ja jos yhteinen ero on negatiivinen, se suuntautuu kohti negatiivista ääretöntä.

Sarjan summa saadaan seuraavalla yksinkertaisella kaavalla, jonka ensimmäisenä kehitti intialainen tähtitieteilijä ja matemaatikko Aryabhata.

S_n =n/2 (a₁+ a_n)=n/2 [2a_{1 + (n-1)d]}

Summa S_{n voi olla joko äärellinen tai ääretön termien lukumäärän perusteella.}

Lisätietoja Geometric-sarjasta

Geometrinen sarja on sarja, jossa peräkkäisten lukujen osamäärä on vakio. Se on tärkeä sarja, joka löytyy sarjan tutkimuksesta sen ominaisuuksien vuoksi.

S_n =ar + ar² + ar³ +⋯+ ar ⁿ =∑_i=1 arⁱ

Suhteen r perusteella sarjan käyttäytyminen voidaan luokitella seuraavasti. r={|r|≥1 sarja hajoaa; r≤1-sarja konvergoi}. Lisäksi, jos r<0 sarja värähtelee, eli sarjassa on vuorottelevia arvoja.

Geometrisen sarjan summa voidaan laskea seuraavan kaavan avulla. S_n =a(1-r) / (1-r); jossa a on alkutermi ja r on suhde. Jos suhde r≤1, sarja konvergoi. Äärettömälle sarjalle konvergenssin arvo saadaan kaavalla S_{n=a / (1-r).}

Geometrisella sarjalla on lukuisia sovelluksia fysiikan, tekniikan ja taloustieteen aloilla

Mitä eroa on aritmeettisella ja geometrisella sarjalla?

• Aritmeettinen sarja on sarja, jossa kahden vierekkäisen termin välinen ero on vakio.

• Geometrinen sarja on sarja, jonka kahden peräkkäisen termin välinen osamäärä on vakio.

• Kaikki äärettömät aritmeettiset sarjat ovat aina divergensseja, mutta suhteesta riippuen geometriset sarjat voivat olla joko suppenevia tai divergenttejä.

• Geometrisen sarjan arvoissa voi olla värähtelyä; eli luvut vaihtavat etumerkkejään vuorotellen, mutta aritmeettisessa sarjassa ei voi olla värähtelyjä.