Aritmeettisen ja geometrisen sekvenssin välinen ero

2024 Kirjoittaja: Alex Aldridge | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-17 23:31

Aritmeettinen sekvenssi vs geometrinen sekvenssi

Lukujen kuvioiden ja niiden käyttäytymisen tutkimus on tärkeä tutkimus matematiikan alalla. Usein nämä mallit näkyvät luonnossa ja auttavat meitä selittämään niiden käyttäytymistä tieteellisestä näkökulmasta. Aritmeettiset sekvenssit ja geometriset sekvenssit ovat kaksi perusmallia, jotka esiintyvät luvuissa ja löytyvät usein luonnonilmiöistä.

Järjestö on sarja järjestettyjä numeroita. Elementtien määrä jonossa voi olla äärellinen tai ääretön.

Lisätietoja aritmeettisesta sekvenssistä (aritmetrinen progressio)

Aritmeettinen sarja määritellään numerosarjaksi, jossa on vakio ero kunkin peräkkäisen termin välillä. Sitä kutsutaan myös aritmeettiseksi progressioksi.

Aritmeettinen järjestys ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; jossa a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d ja niin edelleen.}

Jos alkutermi on a₁ ja yhteinen ero on d, niin sekvenssin n^{th termi saadaan kaavalla;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Viemällä yllä olevaa tulosta pidemmälle, termi n^{th voidaan antaa myös muodossa;}

a_n =a_m + (n-m)d, missä a_{m on satunnainen termi järjestyksessä siten, että n > m.}

Parillisten lukujen joukko ja parittomien lukujen joukko ovat yksinkertaisimpia esimerkkejä aritmeettisista sarjoista, joissa jokaisella sekvenssillä on yhteinen ero (d) 2.

Joksissa olevien termien määrä voi olla joko ääretön tai äärellinen. Äärettömässä tapauksessa (n → ∞) sekvenssi pyrkii äärettömään yhteisestä erosta riippuen (a_{n → ±∞). Jos yhteinen ero on positiivinen (d > 0), sekvenssi pyrkii positiiviseen äärettömyyteen ja jos yhteinen ero on negatiivinen (d < 0), se pyrkii negatiiviseen äärettömyyteen. Jos termit ovat äärellisiä, myös sekvenssi on äärellinen.}

Aritmeettisen sarjan termien summa tunnetaan aritmeettisena sarjana: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{ja S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] antaa arvon sarja (S}n)

Lisätietoja geometrisestä sekvenssistä (geometrinen eteneminen)

Geometrinen sekvenssi määritellään sekvenssiksi, jossa minkä tahansa kahden peräkkäisen termin osamäärä on vakio. Tätä kutsutaan myös geometriseksi progressioksi.

Geometrinen järjestys ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; jossa a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r ja niin edelleen, missä r on reaaliluku.}

Geometrinen sekvenssi on helpompi esittää käyttämällä yhteistä suhdetta (r) ja alkutermiä (a). Tästä johtuu geometrinen sekvenssi ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

N^th termien yleinen muoto, jonka antaa _n =a₁r ^n-1. (Alkutermin alaindeksin menettäminen ⇒ a_n =ar^n-1)

Geometrinen sekvenssi voi olla myös äärellinen tai ääretön. Jos termien määrä on äärellinen, sekvenssin sanotaan olevan äärellinen. Ja jos termit ovat äärettömiä, sekvenssi voi olla joko ääretön tai äärellinen suhteesta r riippuen. Yhteinen suhde vaikuttaa moniin geometristen sekvenssien ominaisuuksiin.

r > o	0 < r < +1	Jovio konvergoi – eksponentiaalinen vaimeneminen, eli an → 0, n → ∞
	r=1	Vakiojono, eli an=vakio
	r > 1	Sekvenssi eroaa – eksponentiaalinen kasvu, eli an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Josvio on värähtelevä, mutta suppenee
	r=1	Josvio on vuorotteleva ja vakio, eli an=±vakio
	r < -1	Järjestys on vuorotteleva ja hajaantuu. eli an → ±∞, n → ∞
r=0	Josvio on nollien merkkijono

N. B: Kaikissa yllä olevissa tapauksissa a₁ > 0; jos a₁ < 0, a_{n liittyvät merkit käännetään.}

Pallon pomppujen välinen aikaväli noudattaa ideaalisessa mallissa geometrista järjestystä, ja se on konvergentti sarja.

Geometrisen sekvenssin termien summa tunnetaan geometrisena sarjana; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Geometrisen sarjan summa voidaan laskea seuraavalla kaavalla.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); missä a on alkutermi ja r on suhde.}

Jos suhde, r ≤ 1, sarja konvergoi. Äärettömälle sarjalle konvergenssin arvo saadaan kaavalla S_n=a/(1-r)

Mitä eroa on aritmeettisen ja geometrisen sekvenssin/progression välillä?

• Aritmeettisessa sekvenssissä millä tahansa kahdella peräkkäisellä termillä on yhteinen ero (d), kun taas geometrisessa sekvenssissä millä tahansa kahdella peräkkäisellä termillä on vakioosamäärä (r).

• Aritmeettisessa sarjassa termien vaihtelu on lineaarista, eli kaikkien pisteiden kautta voidaan vetää suora. Geometrisessä sarjassa vaihtelu on eksponentiaalinen; joko kasvava tai rappeutunut yhteisen suhteen perusteella.

• Kaikki äärettömät aritmeettiset sekvenssit ovat hajaantuvia, kun taas äärettömät geometriset sarjat voivat olla joko divergenttejä tai suppenevia.

• Geometrinen sarja voi näyttää värähtelyä, jos suhde r on negatiivinen, kun taas aritmeettinen sarja ei näytä värähtelyä