Parabola vs Hyperbola
Kepler kuvaili planeettojen kiertoradat ellipseiksi, joita Newton myöhemmin muokkasi, kun hän osoitti nämä radat erityisiksi kartioleikkauksiksi, kuten paraabeliksi ja hyperboliksi. Paraabelin ja hyperabelin välillä on monia yhtäläisyyksiä, mutta eroja on myös siksi, että näihin kartioleikkauksiin liittyvien geometristen ongelmien ratkaisemiseksi on erilaisia yhtälöitä. Ymmärtääksemme paremmin paraabelin ja hyperabelin välisiä eroja meidän on ymmärrettävä nämä kartioleikkaukset.
Leikkaus on pinta tai pinnan ääriviivat, jotka on muodostettu leikkaamalla kiinteä kuvio tasolla. Jos kiinteä kuvio sattuu olemaan kartio, tuloksena olevaa käyrää kutsutaan kartioleikkaukseksi. Kartion muodon ja muodon määrää tason ja kartion akselin leikkauskulma. Kun kartio leikataan suorassa kulmassa akseliin nähden, saamme pyöreän muodon. Kun leikkaus on pienempi kuin suorassa kulmassa, mutta suurempi kuin kartion sivun muodostama kulma, tuloksena on ellipsi. Kartion sivun suuntaisesti leikattaessa saatu käyrä on paraabeli ja kun leikataan lähes samansuuntaisesti sen akselin kanssa, saadaan käyrä, joka tunnetaan nimellä hyperbola. Kuten kuvista näkyy, ympyrät ja ellipsit ovat suljettuja käyriä, kun taas paraabelit ja hyperbelit ovat avoimia käyriä. Paraabelin tapauksessa kahdesta haarasta tulee lopulta yhdensuuntainen toistensa kanssa, kun taas hyperabelin tapauksessa se ei ole niin.
Koska ympyrät ja paraabelit muodostetaan leikkaamalla kartio tietyissä kulmissa, kaikki ympyrät ovat muodoltaan samanlaisia ja kaikki paraabelit ovat samanmuotoisia. Hyperbolien ja ellipsien tapauksessa tason ja akselin välillä on laaja valikoima kulmia, minkä vuoksi niillä on taipumus olla monenlaisia muotoja. Neljän tyyppisen kartioleikkauksen yhtälöt ovat seuraavat.
Ympyrä- x2+y2=1
Ellipsi- x2/a2+ y2/b2=1
Parabola- y2=4ax
Hyperbola- x2/a2– y2/b2=1
