Assosiatiivinen vs kommutatiivinen
Jokapäiväisessä elämässämme meidän on käytettävä numeroita aina, kun haluamme mitata jotakin. Ruokakaupassa, huoltoasemalla ja jopa keittiössä meidän on lisättävä, vähennettävä ja kerrottava kaksi tai useampia määriä. Käytännöstämme suoritamme nämä laskelmat melko vaivattomasti. Emme koskaan huomaa tai kyseenalaista, miksi teemme nämä toiminnot tällä tietyllä tavalla. Tai miksi näitä laskelmia ei voida tehdä eri tavalla. Vastaus piilee tavassa, jolla nämä operaatiot määritellään algebran matemaattisessa kentässä.
Algebrassa operaatio, jossa on kaksi suuretta (kuten yhteenlasku), määritellään binäärioperaatioksi. Tarkemmin sanottuna se on operaatio joukon kahden elementin välillä ja näitä elementtejä kutsutaan "operandiksi". Monet matematiikan operaatiot, mukaan lukien aiemmin mainitut aritmeettiset operaatiot ja joukkoteoriassa, lineaarialgebrassa ja matemaattisessa logiikassa kohdatut operaatiot, voidaan määritellä binäärioperaatioiksi.
On olemassa joukko hallitsevia sääntöjä, jotka koskevat tiettyä binaaritoimintoa. Assosiatiiviset ja kommutatiiviset ominaisuudet ovat kaksi binääritoimintojen perusominaisuutta.
Lisätietoja kommutatiivisesta omaisuudesta
Oletetaan, että elementeille A ja B suoritetaan jokin binäärioperaatio, jota merkitään symbolilla ⊗. Jos operandien järjestys ei vaikuta operaation tulokseen, niin operaation sanotaan olevan kommutatiivinen. eli jos A ⊗ B=B ⊗ A niin operaatio on kommutatiivinen.
Aritmeettiset operaatiot yhteen- ja kertolasku ovat kommutatiivisia. Numeroiden yhteenlaskettu tai kerrottu järjestys ei vaikuta lopulliseen vastaukseen:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Mutta jaon tapauksessa järjestyksen muutos antaa toisen käänteisluvun ja vähennyslaskussa muutos antaa toisen negatiivisen. Siksi
A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 ja 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 ja 5 ÷ 4=1,25 [tässä tapauksessa A, B ≠ 1 ja 0
Itse asiassa vähennyksen sanotaan olevan antikommutatiivista; missä A – B=– (B – A).
Myös loogiset konnektiivit, konjunktio, disjunktio, implikaatio ja ekvivalenssi ovat myös kommutatiivisia. Totuusfunktiot ovat myös kommutatiivisia. Joukkooperaatioiden liitto ja leikkauspiste ovat kommutatiivisia. Myös vektorien yhteenlasku ja skalaaritulo ovat kommutatiivisia.
Mutta vektorivähennys ja vektoritulo eivät ole kommutatiivisia (kahden vektorin vektoritulo on antikommutatiivinen). Matriisilisäys on kommutatiivinen, mutta kerto- ja vähennyslasku eivät ole kommutatiivisia.(Kahden matriisin kertominen voi olla kommutatiivista erikoistapauksissa, kuten matriisin kertominen sen käänteismatriisilla tai identiteettimatriisilla; mutta ehdottomasti matriisit eivät ole kommutatiivisia, jos matriisit eivät ole samankokoisia)
Lisätietoja yhdistysomaisuudesta
Binäärioperaation sanotaan olevan assosiatiivinen, jos suoritusjärjestys ei vaikuta tulokseen, kun operaattoria esiintyy kaksi tai useampia. Tarkastellaan elementtejä A, B ja C sekä binäärioperaatiota ⊗. Toiminnon ⊗ sanotaan olevan assosiatiivinen, jos
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Aritmeettisista perusfunktioista vain yhteen- ja kertolasku ovat assosiatiivisia.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) × 3=60
Vähennys- ja jakolasku eivät ole assosiatiivisia;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 ja (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 ja (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
Loogisten konnektiivien disjunktio, konjunktio ja ekvivalenssi ovat assosiatiivisia, samoin kuin joukkooperaatioiden liitto ja leikkaus. Matriisi ja vektorin lisäys ovat assosiatiivisia. Vektorien skalaaritulo on assosiatiivinen, mutta vektoritulo ei ole. Matriisikertominen on assosiatiivinen vain erityisolosuhteissa.
Mitä eroa on kommutatiivisen ja assosiatiivisen ominaisuuden välillä?
• Sekä assosiatiivinen ominaisuus että kommutatiivinen ominaisuus ovat binäärioperaatioiden erikoisominaisuuksia, ja jotkut täyttävät ne ja jotkut eivät.
• Nämä ominaisuudet näkyvät monissa algebrallisten operaatioiden ja muiden matematiikan binäärioperaatioiden muodoissa, kuten joukkoteorian leikkaus ja liitto tai loogiset konnektiivit.
• Kommutatiivisen ja assosiatiivisen ominaisuuden ero on se, että kommutatiivinen ominaisuus sanoo, että elementtien järjestys ei muuta lopputulosta, kun taas assosiatiiviset ominaisuustilat, että toiminnon suoritusjärjestys ei vaikuta lopulliseen vastaukseen.
