Transponoi vs käänteinen matriisi
Transponointi ja käänteinen ovat kahden tyyppisiä matriiseja, joilla on erityisiä ominaisuuksia, joita kohtaamme matriisialgebrassa. Ne eroavat toisistaan, eivätkä ne jaa läheistä suhdetta, koska niiden saamiseksi suoritetut toiminnot ovat erilaisia.
Heillä on laajat sovellukset lineaarialgebran ja johdettujen toteutusten, kuten tietojenkäsittelytieteen, alalla.
Lisätietoja Transpose Matrixista
Matriisin transponointi A voidaan tunnistaa matriisiksi, joka saadaan järjestämällä sarakkeet uudelleen riveiksi tai rivit sarakkeiksi. Tämän seurauksena jokaisen elementin indeksit vaihdetaan. Muodollisemmin matriisin A transponointi määritellään
missä
Transponointimatriisissa diagonaali pysyy muuttumattomana, mutta kaikki muut elementit kierretään diagonaalin ympäri. Myös matriisien koko muuttuu m×n:stä n×m:ksi.
Transponoinnilla on joitakin tärkeitä ominaisuuksia, ja ne mahdollistavat matriisien helpomman käsittelyn. Myös joitakin tärkeitä transponointimatriiseja määritellään niiden ominaisuuksien perusteella. Jos matriisi on yhtä suuri kuin sen transponointi, niin matriisi on symmetrinen. Jos matriisi on yhtä suuri kuin sen transponoinnin negatiivinen, matriisi on vinosymmetrinen. Matriisin konjugaattitransposoiminen on matriisin transponointi, jonka elementit korvataan sen kompleksikonjugaatilla.
Lisätietoja käänteismatriisista
Matriisin käänteinen määritellään matriisiksi, joka antaa identiteettimatriisin, kun se kerrotaan yhdessä. Siksi määritelmän mukaan, jos AB=BA=I, niin B on A:n käänteimatriisi ja A on B:n käänteimatriisi. Joten jos katsomme B=A -1, niin AA -1 =A -1 A=I
Jotta matriisi on käännettävä, välttämätön ja riittävä ehto on, että A:n determinantti ei ole nolla; eli | A |=det(A) ≠ 0. Matriisin sanotaan olevan käännettävä, ei-singulaarinen tai ei-degeneratiivinen, jos se täyttää tämän ehdon. Tästä seuraa, että A on neliömatriisi ja sekä A -1 että A ovat samankokoisia.
Matriisin A käänteisarvo voidaan laskea monilla lineaarialgebran menetelmillä, kuten Gaussin eliminoinnilla, ominaisdekompositiolla, Cholesky-hajotelmalla ja Carmerin säännöllä. Matriisi voidaan invertoida myös lohkoinversiomenetelmällä ja Neuman-sarjalla.
Mitä eroa on transponoidulla ja käänteisellä matriisilla?
• Transponointi saadaan järjestämällä sarakkeet ja rivit uudelleen matriisissa, kun taas käänteisarvo saadaan suhteellisen vaikealla numeerisella laskennalla. (Mutta todellisuudessa molemmat ovat lineaarisia muunnoksia)
• Suorana seurauksena transponoinnin elementit vain muuttavat sijaintiaan, mutta arvot ovat samat. Mutta käänteisessä tapauksessa luvut voivat olla täysin erilaisia kuin alkuperäisessä matriisissa.
• Jokaisella matriisilla voi olla transponointi, mutta käänteisarvo määritellään vain neliömatriiseille, ja determinantin on oltava nollasta poikkeava determinantti.
