Transponoi vs. Konjugaatti Transponoi
Matriisin transponointi A voidaan tunnistaa matriisiksi, joka saadaan järjestämällä sarakkeet uudelleen riveiksi tai rivit sarakkeiksi. Tämän seurauksena jokaisen elementin indeksit vaihdetaan. Muodollisemmin matriisin A transponointi määritellään
missä
Transponointimatriisissa diagonaali pysyy muuttumattomana. Mutta kaikki muut elementit kierretään diagonaalin ympäri. Myös matriisien koko muuttuu m×n:stä n×m:ksi.
Transponoinnilla on joitakin tärkeitä ominaisuuksia, ja ne mahdollistavat matriisien helpomman käsittelyn. Myös joitakin tärkeitä transponointimatriiseja määritellään niiden ominaisuuksien perusteella. Jos matriisi on yhtä suuri kuin sen transponointi, niin matriisi on symmetrinen. Jos matriisi on yhtä suuri kuin sen transponoinnin negatiivinen, niin matriisi on vinosymmetrinen.
Matriisin konjugaattitransposoiminen on matriisin transponointi, jonka elementit korvataan sen kompleksikonjugaatilla. Toisin sanoen kompleksikonjugaatti (A) määritellään matriisin A kompleksisen konjugaatin transposoksi.
A=(Ā)T; Tarkemmin
missä
ja āji ε C.
Se tunnetaan myös nimellä Hermitian transposo ja Hermitian konjugaatti. Jos konjugaattitransposoiminen on yhtä suuri kuin itse matriisi, matriisi tunnetaan hermiittisenä matriisina. Jos konjugaattitransponointi on yhtä suuri kuin matriisin negatiivinen, se on vino hermiittinen matriisi. Ja jos matriisin käänteisarvo on yhtä suuri kuin kompleksikonjugaatti, matriisi on unitaarinen.
Samalla tavalla kaikilla erikoismatriisikompleksikonjugaatilla on myös erityisominaisuuksia, joita voidaan käyttää matemaattisesti manipuloimaan niitä helposti. Konjugaattitransponointia käytetään laaj alti kvanttimekaniikassa ja siihen liittyvillä aloilla.
Mitä eroa on transponoinnin ja konjugaattitransponoinnin välillä?
• Matriisin transponointi saadaan järjestämällä sarakkeet uudelleen riveiksi tai rivit sarakkeiksi. Matriisin kompleksikonjugaatti saadaan korvaamalla jokainen elementti sen kompleksikonjugaatilla (eli x+iy ⇛ x-iy tai päinvastoin). Konjugaattitransponointi saadaan suorittamalla molemmat operaatiot matriisilla.
• Siksi konjugaattitransposoiminen on vain transponointimatriisi, jonka elementteinä toimivat kompleksiset konjugaatit.
