Johdannainen vs integraali
Differentiointi ja integrointi ovat kaksi Calculuksen perustoimintoa. Niillä on lukuisia sovelluksia useilla aloilla, kuten matematiikassa, tekniikassa ja fysiikassa. Sekä derivaatta että integraali käsittelevät meitä kiinnostavan fyysisen kokonaisuuden funktion tai käyttäytymisen käyttäytymistä.
Mikä on johdannainen?
Oletetaan, että y=ƒ(x) ja x0 on ƒ:n alueella. Sitten limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx on nimeltään ƒ:n hetkellinen muutosnopeus kohdassa x0, jos tämä raja on olemassa rajallisesti. Tätä rajaa kutsutaan myös at:n derivaatiksi ja sitä merkitään ƒ(x).
Funktion f derivaatan arvo mieliv altaisessa pisteessä x funktion alueella saadaan kaavalla limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Tämä ilmaistaan jollakin seuraavista lausekkeista: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Määritämme osittaisen derivaatan funktioille, joissa on useita muuttujia. Usean muuttujan funktion osittaisderivaata on sen derivaatta suhteessa yhteen näistä muuttujista, olettaen, että muut muuttujat ovat vakioita. Osittaisen derivaatan symboli on ∂.
Geometrisesti funktion derivaatta voidaan tulkita funktion ƒ(x) käyrän k altevuudeksi.
Mikä on integraali?
Integraatio tai erilaistumisen estäminen on erilaistumisen käänteinen prosessi. Toisin sanoen se on prosessi alkuperäisen funktion löytämiseksi, kun funktion derivaatta annetaan. Siksi funktion ƒ(x) integraali tai antiderivaata, jos ƒ(x)=F (x) voidaan määritellä funktioksi F (x), kaikille x:lle ƒ(x) alueella.
Lauke ∫ƒ(x) dx tarkoittaa funktion ƒ(x) derivaatta. Jos ƒ(x)=F (x), niin ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, missä C on vakio, ∫ƒ(x) dx kutsutaan ƒ(x) määrittelemättömäksi integraaliksi.
Kaikelle funktiolle ƒ, joka ei välttämättä ole ei-negatiivinen ja joka on määritelty välissä [a, b], a∫b ƒ(x) dx:tä kutsutaan määrätyksi integraaliksi ƒ kohdassa [a, b].
Funktion ƒ(x) määrällinen integraali a∫bƒ(x) dx voidaan tulkita geometrisesti funktion alueena. käyrän ƒ(x), x-akselin ja viivojen x=a ja x=b rajoittama alue.
Mitä eroa on johdannaisen ja integraalin välillä?
• Johdannainen on tulos prosessien eriyttämisestä, kun taas integraali on tulos prosessien integroinnista.
• Toiminnon derivaatta edustaa käyrän k altevuutta missä tahansa pisteessä, kun taas integraali edustaa käyrän alla olevaa aluetta.
