Johdannainen vs differentiaali
Differentiaalilaskennassa funktion derivaatta ja differentiaali liittyvät läheisesti toisiinsa, mutta niillä on hyvin erilaisia merkityksiä, ja niitä käytetään edustamaan kahta tärkeää matemaattista objektia, jotka liittyvät differentioituviin funktioihin.
Mikä on johdannainen?
Funktion johdannainen mittaa nopeutta, jolla funktion arvo muuttuu sen syötteen muuttuessa. Monimuuttujafunktioissa funktion arvon muutos riippuu riippumattomien muuttujien arvojen muutoksen suunnasta. Siksi tällaisissa tapauksissa valitaan tietty suunta ja toiminto eriytetään kyseiseen suuntaan. Tätä derivaatta kutsutaan suuntaderivaattaksi. Osittaiset derivaatat ovat suuntaderivaatojen erikoislaji.
Vektoriarvoisen funktion f johdannainen voidaan määritellä rajaksi [lateksi]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/lateksi] missä tahansa se on äärellisesti olemassa. Kuten aiemmin mainittiin, tämä antaa meille funktion f kasvunopeuden vektorin u suunnassa. Yksiarvoisen funktion tapauksessa tämä pelkistyy derivaatan hyvin tunnettuun määritelmään, [lateksi]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/lateksi]
Esimerkiksi [lateksi]f(x)=x^{3}+4x+5[/lateksi] on kaikkialla differentioitavissa, ja derivaatta on yhtä suuri kuin raja, [lateksi]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/lateksi], joka on yhtä suuri kuin [lateksi]3x^{2}+4[/lateksi]. Funktioiden, kuten [lateksi]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex], johdannaisia on kaikkialla. Ne ovat vastaavasti yhtä suuria kuin funktiot [lateksi]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Tämä tunnetaan ensimmäisenä johdannaisena. Yleensä funktion f ensimmäinen derivaatta merkitään f:llä (1) Nyt tätä merkintää käyttämällä on mahdollista määritellä korkeamman asteen derivaatat. [lateksi]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/lateksi] on toisen asteen suuntaderivaata, ja se merkitsee n:n th derivaata f:llä (n) jokaiselle n:lle, [lateksi]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/lateksi], määrittää n th johdannaisen.
Mikä on ero?
Funktion differentiaali edustaa funktion muutosta riippumattoman muuttujan tai muuttujien muutoksiin nähden. Tavallisessa merkinnässä yksittäisen muuttujan x tietylle funktiolle f kertaluvun 1 df kokonaisdifferentiaali saadaan kaavalla [lateksi]df=f^{1}(x)dx[/latex]. Tämä tarkoittaa, että x:n äärettömän pienellä muutoksella (eli d x) f:ssä on f (1)(x)d x muutos.
Käyttämällä rajoja tähän määritelmään voi päätyä seuraavasti. Oletetaan, että ∆ x on muutos x:ssä mieliv altaisessa pisteessä x ja ∆ f on vastaava muutos funktiossa f. Voidaan osoittaa, että ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, missä ϵ on virhe. Nyt raja ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x)) (käyttäen aiemmin annettua derivaatan määritelmää) ja siten ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Siksi on mahdollista päättele, että ∆ x→ 0 ϵ=0. Nyt merkitsemällä ∆ x→ 0 ∆ f d f ja ∆ x→ 0 ∆ x d x, differentiaalin määritelmä saadaan tiukasti.
Esimerkiksi funktion [lateksi]f(x)=x^{3}+4x+5[/lateksi] differentiaali on [lateksi](3x^{2}+4)dx[/lateksi].
Kahden tai useamman muuttujan funktioiden tapauksessa funktion kokonaisdifferentiaali määritellään kunkin riippumattoman muuttujan suunnassa olevien differentiaalien summana. Matemaattisesti se voidaan ilmaista muodossa [lateksi]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Mitä eroa on derivaatan ja differentiaalin välillä?
• Derivaatilla tarkoitetaan funktion muutosnopeutta, kun taas differentiaali viittaa funktion todelliseen muutokseen, kun riippumaton muuttuja muuttuu.
• Johdannan antaa [lateksi]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/lateksi], mutta ero saadaan kaavalla [lateksi]df=f^{1}(x)dx[/lateksi].
