Riemannin integraalin ja Lebesgue-integraalin välinen ero

2024 Kirjoittaja: Alex Aldridge | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2023-12-17 13:38

Riemannin integraali vs Lebesgue Integral

Integraatio on laskennan pääaihe. Laajemmassa mielessä integraatio voidaan nähdä käänteisenä erilaistumisprosessina. Reaalimaailman ongelmia mallinnettaessa on helppo kirjoittaa johdannaisia sisältäviä lausekkeita. Tällaisessa tilanteessa tarvitaan integrointitoiminto, jotta löydetään funktio, joka antoi tietyn derivaatan.

Toisesta näkökulmasta integrointi on prosessi, joka summaa funktion ƒ(x) ja δx tulon, jossa δx on taipumus olla tietty raja. Tästä syystä käytämme integrointisymbolia muodossa ∫. Symboli ∫ on itse asiassa se, minkä saamme venyttämällä s-kirjainta viittaamaan summaan.

Riemannin integraali

Harkitse funktiota y=ƒ(x). Y:n integraali a:n ja b:n välillä, jossa a ja b kuuluvat joukkoon x, kirjoitetaan muodossa _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Tätä kutsutaan yksiarvoisen ja jatkuvan funktion y=ƒ(x) määrätyksi integraaliksi a:n ja b:n välillä. Tämä antaa käyrän alla olevan alueen a:n ja b:n välillä. Tätä kutsutaan myös Riemannin integraaliksi. Riemannin integraalin loi Bernhard Riemann. Jatkuvan funktion Riemannin integraali perustuu Jordanin mittaan, joten se määritellään myös funktion Riemannin summien rajaksi. Suljetulla aikavälillä määritetylle reaaliarvoiselle funktiolle funktion Riemannin integraali osion suhteen x₁, x₂, …, x n _{määritetty välille [a, b] ja t}1_{, t}2_{, …, t n}, jossa x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 kohteelle jokainen i ε {1, 2, …, n}, Riemannin summa määritellään Σ_{i=o - n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Lebesgue Integral

Lebesgue on toisenlainen integraali, joka kattaa monia erilaisia tapauksia kuin Riemannin integraali. Lebesgue-integraalin esitteli Henri Lebesgue vuonna 1902. Legesgue-integraalia voidaan pitää Riemannin integraation yleistyksenä.

Miksi meidän pitää tutkia toista integraalia?

Otetaan huomioon ominaisfunktio ƒ_{A (x)=}{_{0 jos, x ei ε A}^{1 jos, x ε A}joukolla A. Sitten ominaisfunktioiden äärellinen lineaarinen yhdistelmä, joka määritellään F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) kutsutaan yksinkertaiseksi funktioksi, jos E} i _{on mitattavissa jokaiselle i:lle. F (x):n Lebesgue-integraali yli E:n merkitään} E_{∫ ƒ(x)dx. Funktio F (x) ei ole Riemannin integroitavissa. Siksi Lebesgue-integraali on uudelleenmuotoiltu Riemannin integraali, jolla on joitain rajoituksia integroitaville funktioille.}

Mitä eroa on Riemannin integraalilla ja Lebesgue-integraalilla?

· Lebesguen integraali on Riemannin integraalin yleistysmuoto.

· Lebesgue-integraali sallii laskettavan äärettömän epäjatkuvuuksia, kun taas Riemannin integraali sallii äärellisen määrän epäjatkuvuuksia.