Erottelua vs johdannainen
Differentiaalilaskennassa derivaatta ja differentiaatio ovat läheisesti sukua, mutta hyvin erilaisia, ja niitä käytetään edustamaan kahta tärkeää funktioihin liittyvää matemaattista käsitettä.
Mikä on johdannainen?
Funktion johdannainen mittaa nopeutta, jolla funktion arvo muuttuu sen syötteen muuttuessa. Monimuuttujafunktioissa funktion arvon muutos riippuu riippumattomien muuttujien arvojen muutoksen suunnasta. Siksi tällaisissa tapauksissa valitaan tietty suunta ja toiminto eriytetään kyseiseen suuntaan. Tätä derivaatta kutsutaan suuntaderivaattaksi. Osittaiset derivaatat ovat suuntaderivaatojen erikoislaji.
Vektoriarvoisen funktion f johdannainen voidaan määritellä rajaksi [lateksi]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/lateksi] missä tahansa se on äärellisesti olemassa. Kuten aiemmin mainittiin, tämä antaa meille funktion f kasvunopeuden vektorin u suunnassa. Yksiarvoisen funktion tapauksessa tämä pelkistyy derivaatan hyvin tunnettuun määritelmään, [lateksi]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/lateksi]
Esimerkiksi [lateksi]f(x)=x^{3}+4x+5[/lateksi] on kaikkialla differentioitavissa, ja derivaatta on yhtä suuri kuin raja, [lateksi]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/lateksi], joka on yhtä suuri kuin [lateksi]3x^{2}+4[/lateksi]. Funktioiden, kuten [lateksi]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex], johdannaisia on kaikkialla. Ne ovat vastaavasti yhtä suuria kuin funktiot [lateksi]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Tämä tunnetaan ensimmäisenä johdannaisena. Yleensä funktion f ensimmäinen derivaatta merkitään f:llä (1) Nyt tätä merkintää käyttämällä on mahdollista määritellä korkeamman asteen derivaatat. [lateksi]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/lateksi] on toisen asteen suuntaderivaata, ja se merkitsee n:n th derivaata f:llä (n) jokaiselle n:lle, [lateksi]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/lateksi], määrittää n th johdannaisen.
Mitä on eriyttäminen?
Differentiointi on prosessi, jolla löydetään differentioituvan funktion derivaatta. D:llä merkitty D-operaattori edustaa erilaistumista joissakin yhteyksissä. Jos x on riippumaton muuttuja, niin D ≡ d/dx. D-operaattori on lineaarinen operaattori, eli kahdelle differentioituvalle funktiolle f ja g ja vakiolle c, seuraavat ominaisuudet ovat voimassa.
I. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
D-operaattoria käyttämällä muut eriyttämiseen liittyvät säännöt voidaan ilmaista seuraavasti. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 ja D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Esimerkiksi kun F(x)=x 2sin x erotetaan x:n suhteen annettujen sääntöjen mukaisesti, vastaus on 2 x sin x + x2cos x.
Mitä eroa on differentiaatiolla ja derivaatalla?• Johdannainen viittaa funktion muutosnopeuteen • Differentiointi on prosessi, jolla löydetään funktion derivaatta. |
