Erikoisfunktio vs. jatkuva toiminto
Funktiot ovat yksi tärkeimmistä matemaattisten objektien luokista, joita käytetään laaj alti lähes kaikilla matematiikan osa-alueilla. Kuten niiden nimet viittaavat, sekä erilliset funktiot että jatkuvat funktiot ovat kaksi erityistä funktiotyyppiä.
Funktio on kahden joukon välinen suhde, joka on määritelty siten, että jokaiselle ensimmäisen joukon elementille sitä vastaava arvo toisessa joukossa on yksilöllinen. Olkoon f joukosta A joukkoon B määritetty funktio. Sitten jokaiselle x ϵ A:lle symboli f(x) tarkoittaa joukon B yksilöllistä arvoa, joka vastaa x:ää. Sitä kutsutaan x:n kuvaksi f:n alla. Siksi relaatio f A:sta B:hen on funktio, jos ja vain jos jokaiselle xϵ A:lle ja y ϵ A:lle; jos x=y, niin f (x)=f (y). Joukkoa A kutsutaan funktion f alueeksi, ja se on joukko, jossa funktio määritellään.
Otetaan esimerkiksi suhde f R:stä R:ään, joka on määritelty kaavalla f (x)=x + 2 jokaiselle xϵ A:lle. Tämä on funktio, jonka alue on R, kuten jokaiselle reaaliluvulle x ja y, x=y tarkoittaa f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Mutta g (x)=a:n määrittelemä suhde g N:stä N:ään, jossa 'a' on x:n alkutekijä, ei ole funktio, koska g (6)=3, samoin kuin g (6)=2.
Mikä on erillinen funktio?
Diskreetti funktio on funktio, jonka toimialue on korkeintaan laskettavissa. Yksinkertaisesti tämä tarkoittaa, että on mahdollista tehdä luettelo, joka sisältää kaikki verkkotunnuksen elementit.
Mikä tahansa äärellinen joukko on enintään laskettavissa. Luonnollisten lukujen joukko ja rationaalilukujen joukko ovat esimerkkejä korkeintaan laskettavissa olevista äärettömistä joukoista. Reaalilukujen joukko ja irrationaalilukujen joukko eivät ole korkeintaan laskettavissa. Molemmat sarjat ovat lukemattomia. Se tarkoittaa, että on mahdotonta tehdä luetteloa, joka sisältää kaikki näiden joukkojen elementit.
Yksi yleisimmistä erillisfunktioista on tekijäfunktio. f:N U{0}→N rekursiivisesti määriteltyä f (n)=n f (n-1) kullekin n ≥ 1:lle ja f (0)=1:lle kutsutaan tekijäfunktioksi. Huomaa, että sen verkkotunnus N U{0} on enintään laskettavissa.
Mikä on jatkuva funktio?
Olkoon f sellainen funktio, että jokaiselle k:lle f:n alueella f (x)→ f (k) on x → k. Silloin f on jatkuva funktio. Tämä tarkoittaa, että on mahdollista tehdä f(x) mieliv altaisesti lähelle f(k):tä tekemällä x riittävän lähelle k:tä jokaiselle k:lle alueella f.
Katso funktiota f (x)=x + 2 R:llä. Voidaan nähdä, että kuten x → k, x + 2 → k + 2 eli f (x) → f (k). Siksi f on jatkuva funktio. Tarkastellaan nyt g:tä positiivisilla reaaliluvuilla g (x)=1, jos x > 0 ja g (x)=0, jos x=0. Tällöin tämä funktio ei ole jatkuva funktio, koska g (x):n rajaa ei ole olemassa (ja siksi se ei ole yhtä suuri kuin g (0)), koska x → 0.
Mitä eroa on diskreetillä ja jatkuvalla funktiolla?
• Diskreetti funktio on funktio, jonka toimialue on korkeintaan laskettavissa, mutta sen ei tarvitse olla jatkuvassa funktiossa.
• Kaikilla jatkuvilla funktioilla ƒ on ominaisuus, että ƒ(x)→ƒ(k) x → k jokaiselle x:lle ja jokaiselle k:lle ƒ:n alueella, mutta näin ei ole joissakin erillisissä funktioissa.
