Hyperbola vs Ellipsi
Kun kartio leikataan eri kulmista, kartion reunaan merkitään erilaiset käyrät. Näitä käyriä kutsutaan usein kartioleikkauksiksi. Tarkemmin sanottuna kartioleikkaus on käyrä, joka saadaan leikkaamalla suora pyöreä kartiomainen pinta tasaisen pinnan kanssa. Eri leikkauskulmissa annetaan erilaisia kartioleikkauksia.
Sekä hyperboli että ellipsi ovat kartioleikkauksia, ja niiden eroja on helppo verrata tässä yhteydessä.
Lisätietoja Ellipsestä
Kun kartiopinnan ja tasopinnan leikkauskohta muodostaa suljetun käyrän, sitä kutsutaan ellipsiksi. Sen epäkeskisyys on nollan ja yhden välillä (0<e<1). Se voidaan myös määritellä pistejoukon paikaksi tasossa siten, että etäisyyksien summa pisteeseen kahdesta kiinteästä pisteestä pysyy vakiona. Nämä kaksi kiinteää pistettä tunnetaan nimellä "foci". (Muista, että matematiikan ala-asteilla ellipsit piirretään käyttämällä merkkijonoa, joka on sidottu kahteen kiinteään nastaan, tai merkkijonosilmukkaa ja kaksi nastaa.)
Keskipisteen läpi kulkeva jana tunnetaan pääakselina, ja pääakseliin nähden kohtisuorassa oleva ja ellipsin keskustan läpi kulkeva akseli tunnetaan sivuakselina. Halkaisijat kutakin akselia pitkin tunnetaan vastaavasti poikittaishalkaisijana ja konjugaatin halkaisijana. Puolet pääakselista tunnetaan puoli-suurakselina ja puolet sivuakselista puoli-pikkuakselina.
Jokainen piste F1 ja F2 tunnetaan ellipsin polttopisteinä ja pituuksina F1 + PF2 =2a, jossa P on mieliv altainen piste ellipsillä. Epäkeskisyys e määritellään kohdistuksen etäisyyden mieliv altaiseen pisteeseen (PF 2) ja mieliv altaiseen pisteeseen suunnatun pisteen välisen kohtisuoran etäisyyden (PD) välillä. Se on myös yhtä suuri kuin kahden polttopisteen ja puolipääakselin välinen etäisyys: e=PF/PD=f/a
Ellipsin yleinen yhtälö, kun puoli-suurakseli ja puolipieni-akseli yhtyvät karteesisten akselien kanssa, annetaan seuraavasti.
x2/a2 + y2/b2=1
Ellipsin geometrialla on monia sovelluksia, erityisesti fysiikassa. Aurinkokunnan planeettojen kiertoradat ovat elliptisiä, ja aurinko on yhtenä fokuksena. Antennien ja akustisten laitteiden heijastimet on tehty ellipsin muotoisiksi, jotta voidaan hyödyntää sitä tosiasiaa, että mikä tahansa emissio kohdistuksesta konvergoi toiseen kohdistukseen.
Lisätietoja Hyperbolasta
Hyperbola on myös kartiomainen leikkaus, mutta se on avoin. Termi hyperbola viittaa kahteen kuvassa esitettyyn irrotettuun käyrään. Sen sijaan, että hyperbelin kädet tai oksat sulkeutuisivat ellipsin tavoin, ne jatkavat äärettömyyteen asti.
Pisteitä, joissa kahdella haaralla on lyhin etäisyys niiden välillä, kutsutaan pisteiksi. Piikkien läpi kulkevaa linjaa pidetään pääakselina tai poikkiakselina, ja se on yksi hyperbelin pääakseleista. Paraabelin kaksi polttopistettä ovat myös pääakselilla. Kahden kärjen välisen suoran keskipiste on keskipiste ja janan pituus on puolipääakseli. Puolipääakselin kohtisuora puolittaja on toinen pääakseli, ja hyperbelin kaksi käyrää ovat symmetrisiä tämän akselin ympärillä. Paraabelin epäkeskisyys on suurempi kuin yksi; e > 1.
Jos pääakselit ovat yhteneväisiä karteesisten akselien kanssa, hyperbelin yleinen yhtälö on muotoa:
x2/a2 – y2/b2=1,
jossa a on puolipääakseli ja b on etäisyys keskustasta jompaankumpaan kohdistukseen.
Hyperbolit, joiden avoimet päät ovat x-akselia kohti, tunnetaan itä-länsi-hyperboleina. Samanlaisia hyperboleja voidaan saada myös y-akselilla. Nämä tunnetaan y-akselin hyperboleina. Tällaisten hyperbolien yhtälö on muodossa
y2/a2 – x2/b2=1
Mitä eroa on Hyperbolalla ja Ellipsillä?
• Sekä ellipsit että hyperbeli ovat kartioleikkauksia, mutta ellipsi on suljettu käyrä, kun taas hyperbeli koostuu kahdesta avoimesta käyrästä.
• Siksi ellipsillä on äärellinen ympärysmitta, mutta hyperbolalla on ääretön pituus.
• Molemmat ovat symmetrisiä suur- ja sivuakselinsa ympärillä, mutta suuntaviivan sijainti on kussakin tapauksessa erilainen. Ellipsissä se on puolipääakselin ulkopuolella, kun taas hyperbolissa se on puolipääakselin ulkopuolella.
• Kahden kartioleikkauksen epäkeskisyydet ovat erilaisia.
0 <eEllipsi < 1
eHyperbola > 0
• Kahden käyrän yleinen yhtälö näyttää sam alta, mutta ne ovat erilaisia.
• Pääakselin kohtisuora puolittaja leikkaa käyrän ellipsissä, mutta ei hyperbolissa.
(Kuvien lähde: Wikipedia)
