Rinnakkaiskaavio vs suorakaide
Rinnakkaiskaavio ja suorakulmio ovat nelikulmioita. Näiden hahmojen geometria oli ihmiselle tiedossa tuhansia vuosia. Aihetta käsitellään nimenomaisesti kreikkalaisen matemaatikon Euclidin kirjoittamassa kirjassa "Elements".
Rinnakkaiskaavio
Rinnakkaiskuvaus voidaan määritellä geometriseksi kuvioksi, jossa on neljä sivua, joiden vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset toistensa kanssa. Tarkemmin sanottuna se on nelikulmio, jossa on kaksi paria yhdensuuntaisia sivuja. Tämä yhdensuuntainen luonne antaa suunnikasille monia geometrisia ominaisuuksia.
Nelikulmio on suunnikas, jos löytyy seuraavat geometriset ominaisuudet.
• Kaksi paria vastakkaisia sivuja ovat yhtä pitkiä. (AB=DC, AD=BC)
• Kaksi vastakkaisten kulmien paria ovat kooltaan yhtä suuria. ([lateksi]D\hattu{A}B=B\hattu{C}D, A\hattu{D}C=A\hattu{B}C[/lateksi])
• Jos vierekkäiset kulmat ovat täydentäviä [lateksi]D\hattu{A}B + A\hattu{D}C=A\hattu{D}C + B\hattu{C}D=B\hattu {C}D + A\hattu{B}C=A\hattu{B}C + D\hattu{A}B=180^{circ}=\pi rad[/lateksi]
• Toisiaan vastakkainen sivupari on yhdensuuntainen ja yhtä pitkä. (AB=DC & AB∥DC)
• Diagonaalit jakavat toisensa (AO=OC, BO=OD)
• Jokainen lävistäjä jakaa nelikulmion kahdeksi yhteneväksi kolmioksi. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Lisäksi sivujen neliöiden summa on yhtä suuri kuin diagonaalien neliöiden summa. Tätä kutsutaan joskus suunnikkaaksi, ja sillä on laajalle levinneitä sovelluksia fysiikassa ja tekniikassa. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Jokaista yllä olevista ominaisuuksista voidaan käyttää ominaisuuksina, kun on todettu, että nelikulmio on suuntaviiva.
Suunnikalan pinta-ala voidaan laskea yhden sivun pituuden ja vastakkaisen sivun korkeuden tulolla. Siksi suunnikkaan pinta-ala voidaan ilmoittaa
Suunkkakulman pinta-ala=kanta × korkeus=AB×h
Suunkkaisen pinta-ala on riippumaton yksittäisen suunnikkaan muodosta. Se riippuu vain pohjan pituudesta ja kohtisuorasta korkeudesta.
Jos suuntaviivan sivut voidaan esittää kahdella vektorilla, pinta-ala voidaan saada kahden vierekkäisen vektorin vektoritulon (ristitulon) suuruudella.
Jos sivuja AB ja AD edustavat vektorit ([lateksi]\overrightarrow{AB}[/lateksi]) ja ([lateksi]\overrightarrow{AD}[/lateksi]), vastaavasti suunnikas on annettu [lateksi]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/lateksi], jossa α on [lateksi]\overrightarrow{AB}[/lateksi] ja [lateksi]\overrightarrow{AD}[/lateksi] välinen kulma.
Seuraavassa on joitain suunnikkaan kehittyneitä ominaisuuksia;
• Suunnikkaan pinta-ala on kaksi kertaa minkä tahansa sen lävistäjän luoman kolmion pinta-ala.
• Suunnikkaan pinta-ala jaetaan puoliksi millä tahansa keskipisteen läpi kulkevalla suoralla.
• Mikä tahansa ei-degeneroitunut affiinimuunnos siirtää suunnikkaan toiseen suunnikkaaseen
• Suunnikkaan kiertosymmetria on kertaluokkaa 2
• Suunnikkaan mistä tahansa sisäpisteestä sivuille olevien etäisyyksien summa on riippumaton pisteen sijainnista
Suorakaide
Nelikulmio, jossa on neljä suoraa kulmaa, tunnetaan suorakulmiona. Se on suuntaviivan erikoistapaus, jossa minkä tahansa kahden vierekkäisen sivun väliset kulmat ovat suoria kulmia.
Kaikkien suunnikkaan ominaisuuksien lisäksi voidaan tunnistaa muita ominaisuuksia, kun otetaan huomioon suorakulmion geometria.
• Jokainen kärkien kulma on suora kulma.
• Diagonaalit ovat yhtä pitkiä ja ne puolittavat toisensa. Siksi myös jaetut osat ovat yhtä pitkiä.
• Diagonaalien pituus voidaan laskea Pythagoraan lauseella:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Pinta-alakaava pienenee pituuden ja leveyden tuloksi.
Suorakulmion pinta-ala=pituus × leveys
• Suorakulmiosta löytyy monia symmetrisiä ominaisuuksia, kuten;
– Suorakulmio on syklinen, jossa kaikki kärjet voidaan sijoittaa ympyrän kehälle.
– Se on tasakulmainen, jossa kaikki kulmat ovat yhtä suuret.
– Se on isogonaalinen, jossa kaikki kulmat ovat samalla symmetriaradalla.
– Sillä on sekä heijastussymmetriaa että kiertosymmetriaa.
Mitä eroa on rinnakkaiskuvalla ja suorakulmiolla?
• Parallelogrammi ja suorakulmio ovat nelikulmioita. Suorakaide on suuntakuvien erikoistapaus.
• Minkä tahansa pinta-ala voidaan laskea kaavalla kanta ×korkeus.
• Ottaen huomioon diagonaalit;
– Suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa ja puolittavat suunnikkaan muodostaen kaksi yhteneväistä kolmiota.
– Suorakulmion lävistäjät ovat yhtä pitkiä ja jakavat toisensa; jaetut osat ovat yhtä pitkiä. Diagonaalit jakavat suorakulmion kahdeksi yhteneväiseksi suorakulmaiseksi kolmioksi.
• Ottaen huomioon sisäiset kulmat;
– Suunnikkaan vastakkaiset sisäkulmat ovat kooltaan yhtä suuret. Kaksi vierekkäistä sisäkulmaa ovat täydentäviä
– Kaikki neljä suorakulmion sisäkulmaa ovat suoria kulmia.
• Sivut huomioon ottaen;
– Suunnikkaassa sivujen neliöiden summa on yhtä suuri kuin diagonaalin neliöiden summa (Rinnakkaislaki)
– Suorakulmioissa kahden vierekkäisen sivun neliöiden summa on yhtä suuri kuin päissä olevan diagonaalin neliö. (Pytagoraan sääntö)
