Lineaariset vs. epälineaariset differentiaaliyhtälöt
Yhtälö, joka sisältää vähintään yhden differentiaalikertoimen tai derivaatan tuntemattomasta muuttujasta, tunnetaan differentiaaliyhtälönä. Differentiaaliyhtälö voi olla joko lineaarinen tai epälineaarinen. Tämän artikkelin tarkoituksena on selittää, mikä on lineaarinen differentiaaliyhtälö, mikä on epälineaarinen differentiaaliyhtälö ja mikä on ero lineaaristen ja epälineaaristen differentiaaliyhtälöiden välillä.
Siitä lähtien, kun matemaatikot, kuten Newton ja Leibnitz, kehittivät laskennan 1700-luvulla, differentiaaliyhtälöllä on ollut tärkeä rooli matematiikan tarinassa. Differentiaaliyhtälöillä on suuri merkitys matematiikassa, koska niillä on monia sovelluksia. Differentiaaliyhtälöt ovat jokaisen mallin ytimessä, jota kehitämme selittämään mitä tahansa skenaariota tai tapahtumaa maailmassa, olipa kyseessä fysiikka, tekniikka, kemia, tilastot, talousanalyysi tai biologia (luettelo on loputon). Itse asiassa, ennen kuin laskennasta tuli vakiintunut teoria, kunnollisia matemaattisia työkaluja ei ollut saatavilla luonnon mielenkiintoisten ongelmien analysoimiseen.
Tuloksena olevat yhtälöt tietystä laskennan sovelluksesta voivat olla hyvin monimutkaisia ja joskus niitä ei voida ratkaista. On kuitenkin asioita, jotka voimme ratkaista, mutta ne voivat näyttää sam alta ja hämmentävältä. Siksi differentiaaliyhtälöt luokitellaan niiden matemaattisen käyttäytymisen perusteella tunnistamisen helpottamiseksi. Lineaarinen ja epälineaarinen on yksi tällainen luokittelu. On tärkeää tunnistaa ero lineaaristen ja epälineaaristen differentiaaliyhtälöiden välillä.
Mikä on lineaarinen differentiaaliyhtälö?
Oletetaan, että f: X→Y ja f(x)=y, differentiaaliyhtälö, jossa ei ole tuntemattoman funktion y ja sen derivaatan epälineaarisia termejä, tunnetaan lineaarisena differentiaaliyhtälönä.
Se asettaa ehdon, että y:llä ei voi olla korkeampia indeksitermejä, kuten y2, y3, … ja useita johdannaisia, kuten as
Se ei myöskään voi sisältää epälineaarisia termejä, kuten Sin y, e y ^-2 tai ln y. Se ottaa muotoa
jossa y ja g ovat x:n funktioita. Yhtälö on luokkaa n oleva differentiaaliyhtälö, joka on korkeimman kertaluvun derivaatan indeksi.
Lineaarisessa differentiaaliyhtälössä differentiaalioperaattori on lineaarinen operaattori ja ratkaisut muodostavat vektoriavaruuden. Ratkaisujoukon lineaarisuudesta johtuen ratkaisujen lineaarinen yhdistelmä on myös ratkaisu differentiaaliyhtälöön. Eli jos y1 ja y2 ovat differentiaaliyhtälön ratkaisuja, niin C1 y 1+ C2 y2 on myös ratkaisu.
Yhtälön lineaarisuus on vain yksi luokituksen parametri, ja se voidaan edelleen luokitella homogeenisiin tai epähomogeenisiin ja tavallisiin tai osittaisiin differentiaaliyhtälöihin. Jos funktio on g=0, yhtälö on lineaarinen homogeeninen differentiaaliyhtälö. Jos f on kahden tai useamman riippumattoman muuttujan (f: X, T→Y) ja f(x, t)=y funktio, yhtälö on lineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö.
Differentiaaliyhtälön ratkaisumenetelmä riippuu differentiaaliyhtälön tyypistä ja kertoimista. Helpoin tapaus syntyy, kun kertoimet ovat vakioita. Klassinen esimerkki tästä tapauksesta on Newtonin toinen liikelaki ja sen erilaiset sovellukset. Newtonin toinen laki tuottaa toisen asteen lineaarisen differentiaaliyhtälön vakiokertoimilla.
Mikä on epälineaarinen differentiaaliyhtälö?
Epälineaarisia termejä sisältävät yhtälöt tunnetaan epälineaarisina differentiaaliyhtälöinä.
Kaikki yllä olevat ovat epälineaarisia differentiaaliyhtälöitä. Epälineaarisia differentiaaliyhtälöitä on vaikea ratkaista, joten oikean ratkaisun saamiseksi tarvitaan tarkkaa tutkimusta. Osittaisten differentiaaliyhtälöiden tapauksessa useimmilla yhtälöillä ei ole yleistä ratkaisua. Siksi jokaista yhtälöä on käsiteltävä itsenäisesti.
Navier-Stokesin yhtälö ja Eulerin yhtälö nestedynamiikassa, Einsteinin yleisen suhteellisuusteorian kenttäyhtälöt ovat hyvin tunnettuja epälineaarisia osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Joskus Lagrange-yhtälön soveltaminen muuttujajärjestelmään voi johtaa epälineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden järjestelmään.
Mitä eroa on lineaarisilla ja epälineaarisilla differentiaaliyhtälöillä?
• Differentiaaliyhtälö, jossa on vain tuntemattoman tai riippuvaisen muuttujan ja sen derivaatan lineaariset ehdot, tunnetaan lineaarisena differentiaaliyhtälönä. Sillä ei ole termiä, jonka riippuva muuttuja, jonka indeksi on suurempi kuin 1, ja se ei sisällä yhtään sen johdannaisten monikertaa. Sillä ei voi olla epälineaarisia funktioita, kuten trigonometrisia funktioita, eksponentiaalifunktioita ja logaritmisia funktioita riippuvaisen muuttujan suhteen. Mikä tahansa differentiaaliyhtälö, joka sisältää edellä mainitut termit, on epälineaarinen differentiaaliyhtälö.
• Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisut luovat vektoriavaruutta ja differentiaalioperaattori on myös lineaarinen operaattori vektoriavaruudessa.
• Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisut ovat suhteellisen helpompia ja yleisiä ratkaisuja on olemassa. Epälineaarisille yhtälöille yleistä ratkaisua ei useimmissa tapauksissa ole olemassa ja ratkaisu voi olla ongelmakohtainen. Tämä tekee ratkaisusta paljon vaikeamman kuin lineaariset yhtälöt.
