Avainero – oletus vs. lause
Postulaatit ja lauseet ovat kaksi yleistä termiä, joita käytetään usein matematiikassa. Postulaatti on väite, jonka oletetaan olevan totta, ilman todisteita. Lause on väite, joka voidaan todistaa oikeaksi. Tämä on avainero postulaatin ja lauseen välillä. Lauseet perustuvat usein postulaatteihin.
Mikä on postulaatti?
Postulaatti on väite, jonka oletetaan olevan totta ilman todisteita. Postulaatti määritellään Oxford-sanakirjassa "asiaksi, jonka ehdotetaan tai oletetaan olevan totta päättelyn, keskustelun tai uskomuksen perustana" ja American Heritage -sanakirjassa "jotain, jonka oletetaan ilman todisteita olevan itsestäänselvyys tai yleisesti hyväksytty, varsinkin kun sitä käytetään väitteen perusteeksi."
Postulaatit tunnetaan myös aksioomina. Postulaatteja ei tarvitse todistaa, koska ne ovat näkyvästi oikeita. Esimerkiksi väite, että kaksi pistettä muodostaa suoran, on oletus. Postulaatit ovat perusta, jolta lauseet ja lemmat luodaan. Lause voidaan johtaa yhdestä tai useammasta postulaatista.
Alla on joitain perusominaisuuksia, jotka kaikilla oletuksilla on:
- Postulaattien tulee olla helposti ymmärrettäviä – niissä ei saa olla paljon sanoja, joita on vaikea ymmärtää.
- Niiden tulee olla johdonmukaisia yhdistettyinä muihin postulaatteihin.
- Niitä pitäisi voida käyttää itsenäisesti.
Jotkin oletukset – kuten Einsteinin oletus, jonka mukaan maailmankaikkeus on homogeeninen – eivät kuitenkaan aina pidä paikkaansa. Postulaatti voi muuttua ilmeisen virheelliseksi uuden löydön jälkeen.
Jos sisäkulmien α ja β summa on pienempi kuin 180°, kaksi rajattomasti tuotettua suoraa kohtaavat sillä puolella.
Mikä on lause?
Lause on väite, joka voidaan todistaa todeksi. Oxford-sanakirja määrittelee lauseen yleiseksi väitteeksi, joka ei ole itsestään selvää, vaan joka on todistettu päättelyketjulla; totuus, joka on vahvistettu hyväksyttyjen totuuksien avulla”, ja Merriam-Webster määrittelee sen”matematiikan tai logiikan kaavaksi, lauseeksi tai väittämäksi, joka on johdettu tai pääteltävä muista kaavoista tai väitteistä”.
Lauseet voidaan todistaa loogisella päättelyllä tai käyttämällä muita lauseita, jotka on jo todistettu todeksi. Lause, joka on todistettava toisen lauseen todistamiseksi, kutsutaan lemmaks. Sekä lemmat että lauseet perustuvat postulaatteihin. Lauseena on tyypillisesti kaksi osaa, jotka tunnetaan nimellä hypoteesi ja johtopäätökset. Pythagoraan lause, neljän värin lause ja Fermatin viimeinen lause ovat esimerkkejä lauseista.
Pythagoraan lauseen visualisointi
Mitä eroa on postulaatilla ja lauseella?
Määritelmä:
Postulaatti: Postulaatti määritellään "väitteenä, joka hyväksytään todeksi argumentin tai päättelyn perustaksi".
Lause: Lause määritellään yleiseksi väitteeksi, joka ei ole itsestään selvää, vaan se on todistettu päättelyketjulla; totuus, joka on vahvistettu hyväksyttyjen totuuksien avulla.”
Todiste:
Postulaatti: Postulaatti on väite, jonka oletetaan olevan totta ilman todisteita.
Lause: Lause on väite, joka voidaan todistaa todeksi.
Suhde:
Postulaatti: Postulaatit ovat lauseiden ja lemmojen perusta.
Lause: Lauseet perustuvat postulaatteihin.
Tarpee todistaa:
Postulaatti: Postulaatteja ei tarvitse todistaa, koska ne ilmaisevat ilmeisen.
Lause: Lauseet voidaan todistaa loogisella päättelyllä tai käyttämällä muita todeksi todistettuja lauseita.
