Populaatio vs otos keskihajonta
Tilastossa käytetään useita indeksejä kuvaamaan tietojoukkoa, joka vastaa sen keskeistä suuntausta, hajontaa ja vinoutta. Keskihajonta on yksi yleisimmistä mittareista datan hajoamisessa tietojoukon keskeltä.
Käytännön vaikeuksista johtuen ei ole mahdollista hyödyntää koko väestön tietoja hypoteesin testaamisen yhteydessä. Siksi käytämme näytteistä saatuja data-arvoja tehdäksemme johtopäätöksiä perusjoukosta. Tällaisessa tilanteessa näitä kutsutaan estimaateiksi, koska ne arvioivat perusjoukon parametrien arvoja.
On erittäin tärkeää käyttää puolueettomia estimaattoreita päätelmissä. Estimaattorin sanotaan olevan puolueeton, jos sen odotusarvo on yhtä suuri kuin populaatioparametri. Käytämme esimerkiksi otoksen keskiarvoa puolueettomana estimaattorina populaation keskiarvolle. (Matemaattisesti voidaan osoittaa, että otoskeskiarvon odotusarvo on yhtä suuri kuin perusjoukon keskiarvo). Populaation keskihajonnan estimoinnissa otoksen keskihajonta on myös puolueeton estimaattori.
Mikä on väestön keskihajonta?
Kun koko väestön tiedot voidaan ottaa huomioon (esimerkiksi väestönlaskennan yhteydessä), on mahdollista laskea väestön keskihajonna. Perusjoukon keskihajonnan laskemiseksi lasketaan ensin tietoarvojen poikkeamat perusjoukon keskiarvosta. Poikkeamien neliökeskiarvoa (neliökeskiarvoa) kutsutaan populaation keskihajonnaksi.
10 oppilaan luokassa oppilaiden tietoja voidaan kerätä helposti. Jos hypoteesi testataan tällä opiskelijajoukolla, ei ole tarvetta käyttää otosarvoja. Esimerkiksi 10 opiskelijan painot (killoina) mitataan 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 ja 79. Tällöin kymmenen ihmisen keskimääräinen paino (killoina) on (70+62+65+72+80+70+63+72+77+79)/10, mikä on 71 (kilogramoina). Tämä on väestön keskiarvo.
Nyt laskeaksemme populaation keskihajonnan laskemme poikkeamat keskiarvosta. Vastaavat poikkeamat keskiarvosta ovat (70 - 71)=-1, (62 - 71)=-9, (65 - 71)=-6, (72 - 71)=1, (80 - 71)=9, (70 – 71)=-1, (63 – 71)=-8, (72 – 71)=1, (77 – 71)=6 ja (79 – 71)=8. Poikkeaman neliöiden summa on (-1)2 + (-9)2 + (-6)2 + 1 2 + 92 + (-1)2 + (-8)2+ 12 + 62 + 82 =366. Yleisön keskihajonnan on √(366/10)=6,05 (kilogramoina). 71 on luokan oppilaiden tarkka keskipaino ja 6.05 on painon tarkka keskihajonta arvosta 71.
Mikä on näytteen keskihajonta?
Kun otoksen (koko n) tietoja käytetään perusjoukon parametrien arvioimiseen, lasketaan otoksen keskihajonta. Ensin lasketaan data-arvojen poikkeamat otoskeskiarvosta. Koska otoskeskiarvoa käytetään populaation keskiarvon sijasta (joka on tuntematon), neliöllisen keskiarvon ottaminen ei ole tarkoituksenmukaista. Otoskeskiarvon käytön kompensoimiseksi poikkeamien neliösumma jaetaan arvolla (n-1) n:n sijaan. Otosten keskihajonna on tämän neliöjuuri. Matemaattisissa symboleissa S=√{∑(xi-ẍ)2 / (n-1)}, missä S on otoksen keskihajonta, ẍ on otoskeskiarvo ja xi:t ovat datapisteitä.
Ole nyt, että edellisessä esimerkissä väestö on koko koulun oppilaita. Silloin luokka on vain esimerkki. Jos tätä näytettä käytetään estimoinnissa, näytteen keskihajonna on √(366/9)=6.38 (kilogramoina), koska 366 jaettiin 9:llä 10:n (otoskoko) sijaan. On huomattava, että tämä ei ole taattu populaation tarkkaa keskihajonnan arvoa. Se on vain arvio sille.
Mitä eroa on populaation keskihajonnan ja otoksen keskihajonnan välillä?
• Populaation keskihajonta on tarkka parametrin arvo, jota käytetään mittaamaan dispersiota keskustasta, kun taas otoksen keskihajonta on sen puolueeton estimaattori.
• Populaation keskihajonta lasketaan, kun kaikki tiedot populaation jokaisesta yksilöstä ovat tiedossa. Muussa tapauksessa lasketaan näytteen keskihajonta.
• Väestön keskihajonta saadaan kaavalla σ=√{ ∑(xi-µ)2/ n} missä µ on väestön keskiarvo ja n on populaation koko, mutta näytteen keskihajonta saadaan kaavalla S=√{ ∑(xi-ẍ)2 / (n-1)} missä ẍ on otoksen keskiarvo ja n on otoksen koko.
