Oikeat numerot vs kuvitteelliset numerot
Luvut ovat matemaattisia objekteja, joita käytetään laskemiseen ja mittaamiseen. Sen määritelmä on muuttunut vuosien varrella lisäämällä nollaa, negatiivisia lukuja, rationaalilukuja, irrationaalilukuja ja imaginaarilukuja. Vaikka numerojärjestelmien abstrakti perusta liittyy algebrallisiin rakenteisiin, kuten ryhmiin, renkaisiin ja kenttiin, tässä esitetään vain intuitiivinen idea.
Mikä on reaaliluku?
Epävirallisesti määritelty reaaliluku on luku, jonka neliö ei ole negatiivinen. Matemaattisessa merkinnässä reaalilukujen joukkoa merkitään symbolilla R. Siksi kaikille x:lle, jos x ϵ R niin x 2 ≥ 0. Tarkemmin sanottuna, voidaan esitellä reaalilukujen joukko ainutlaatuisena, täydellisenä täysin järjestetynä kenttänä binääritoiminnolla + ja. sekä järjestysrelaatio <. Tämä järjestyssuhde noudattaa trikotomialakia, jonka mukaan kaksi reaalilukua x ja y pätee yksi ja vain yksi näistä kolmesta; x > y, x < y tai x=y.
Reaaliluku voi olla joko algebrallinen tai transsendentaalinen riippuen siitä, onko se kokonaislukukertoimien polynomiyhtälön juuri vai ei. Myös reaaliluku voi olla joko rationaalinen tai irrationaalinen riippuen siitä, voidaanko se ilmaista kahden kokonaisluvun suhteena vai ei. Esimerkiksi 2,5 on reaaliluku, joka on algebrallinen ja rationaalinen, mutta ᴫ on irrationaalinen ja transsendentaalinen.
Reaalilukujen joukko on valmis. Se tarkoittaa, että jokaiselle ei-tyhjälle reaalilukujen osajoukolle, joka on rajattu edellä, on pienin yläraja, ja tästä voidaan päätellä, että jokaisella alla rajatulla ei-tyhjällä reaalilukujen osajoukolla on suurin alaraja. Tämä erottaa reaalilukujoukon rationaalisten lukujen joukosta. Voidaan väittää, että reaalilukujen joukko rakennetaan täyttämällä epätäydellisten rationaalilukujen joukon aukot, jolloin aukot ovat irrationaalisia lukuja.
Mikä on imaginaariluku?
Imaginaariluku on luku, jonka neliö on negatiivinen. Toisin sanoen luvut, kuten √(-1), √(-100) ja √(-e) ovat imaginaarilukuja. Kaikki imaginaariluvut voidaan kirjoittaa muodossa a i, jossa i on 'imaginaariyksikkö' √(-1) ja a on nollasta poikkeava reaaliluku. (Huomaa, että i2=-1). Vaikka nämä luvut näyttävät olevan epätodellisia ja kuten nimestä voi päätellä, niitä ei ole olemassa, niitä käytetään monissa olennaisissa tosielämän sovelluksissa, kuten ilmailussa, elektroniikassa ja tekniikassa.
Mitä eroa on reaalilukujen ja imaginaarilukujen välillä?• Reaaliluvun neliö ei ole negatiivinen, mutta imaginaariluvun neliö on negatiivinen. • Reaalilukujoukko muodostaa täydellisen, täysin järjestetyn kentän, kun taas imaginaarilukujen joukko ei ole täydellinen eikä järjestetty. |
