Adjoint vs käänteismatriisi
Sekä adjointmatriisi että käänteimatriisi saadaan matriisin lineaarisista operaatioista, ja ne ovat kaksi eri matriisia, joilla on erilaiset ominaisuudet.
Lisätietoja (klassisesta) Adjoint- tai Adjugate Matrixista
Adjointmatriisi tai adjugaattimatriisi on kofaktorimatriisin transponointi. Jos A:n kofaktorimatriisi on C, niin A:n adjugaattimatriisi saadaan kaavalla C T. eli adj(A)=C T.
Kofaktorimatriisi saadaan kaavalla C=(-1)i+j M ij, missä M ij on ijth-elementin molli. Matriisin determinantti, joka saadaan poistamalla rivi ith ja sarake jth, tunnetaan ijth:n mollina.elementti. [Laskea adjugaattimatriisi etsimällä ensin kunkin elementin minorit, muodostamalla sitten kofaktorimatriisi. Lopuksi otetaan transponointi, joka antaa adjugaattimatriisin].
Adjointilla voidaan laskea matriisin käänteisarvo ja löytää determinantin derivaatta Jacobin kaavalla. Termi "adjoint" on melko vanhentunut ja sitä käytetään nyt matriisin monimutkaisista konjugaateista. Siksi oikea termi on adjugaattimatriisi tai adjunttimatriisi.
Lisätietoja käänteismatriisista
Matriisin käänteinen määritellään matriisiksi, joka antaa identiteettimatriisin, kun se kerrotaan yhdessä. Siksi määritelmän mukaan jos AB=BA=I, niin B on A:n käänteimatriisi ja A on B:n käänteimatriisi. Joten, jos katsomme B=A -1, niin AA -1 =A -1 A=I
Jotta matriisi olisi käännettävä, välttämätön ja riittävä ehto on, että A:n determinantti ei ole nolla.eli | A |=det(A) ≠ 0. Matriisin sanotaan olevan käännettävä, ei-singulaarinen tai ei-degeneratiivinen, jos se täyttää tämän ehdon. Tästä seuraa, että A on neliömatriisi ja sekä A -1 että A ovat samankokoisia.
Matriisin A käänteisarvo voidaan laskea monilla lineaarialgebran menetelmillä, kuten Gaussin eliminaatiolla, ominaisdekompositiolla, Cholesky-hajotelmalla ja Carmerin säännöllä. Matriisi voidaan invertoida myös lohkoinversiomenetelmällä ja Neumannin sarjalla.
Cramerin sääntö tarjoaa analyyttisen menetelmän matriisin käänteisarvon löytämiseksi, ja myös ei-singulaarisuusehto voidaan selittää tuloksilla. Cramerin säännön mukaan A -1 =adj(A)/det(A) tai adj(A)=A -1 det(A). Jotta tämä tulos olisi pätevä, det(A) ≠ 0, joten matriisit ovat käänteisiä silloin ja vain, jos yllä oleva ehto täyttyy.
Mitä eroa adjoint- ja käänteismatriisien välillä on?
• Matriisin adjugaatti tai adjointti on kofaktorimatriisin transponointi, kun taas käänteimatriisi on matriisi, joka antaa identtisyysmatriisin kerrottuna yhteen.
• Adjugaattimatriisia voidaan käyttää käänteismatriisin laskemiseen, ja se on yksi yleisimmistä tavoista löytää käänteiset manuaalisesti.
• Jokaiselle matriisille on olemassa adjugaattimatriisi, mutta käänteisarvo on olemassa silloin ja vain, jos determinantti on muu kuin nolla.
