Paikallinen vs globaali maksimi
Joukon tai funktion suurinta arvoa kutsutaan maksimiarvoksi. Tarkastellaan joukkoa {ai | i ∈ N}. Elementti ak jossa ak ≥ ai kaikille i tunnetaan joukon maksimielementtinä. Jos sarja on järjestetty, siitä tulee joukon viimeinen elementti.
Otetaan esimerkiksi joukko A={1, 6, 9, 2, 4, 8, 3}. Kaikki alkiot huomioon ottaen 9 on suurempi kuin kaikki muut joukon elementit. Siksi se on joukon suurin elementti. Tilaamalla sarjan saamme A={1, 2, 3, 4, 6, 8, 9}. Järjestetyssä joukossa 9 (maksimielementti) on viimeinen alkio.
Paikallinen maksimi
Suurin arvo alijoukossa tai funktion alueella tunnetaan paikallisena maksimina. Se on suurin arvo tietylle osajoukolle tai alueelle, mutta muita elementtejä voi olla suurempia kuin mainitun alueen tai osajoukon ulkopuolella. Funktion tai yleisjoukon alueella voi olla useita paikallisia maksimiarvoja.
Ota huomioon kokonaislukujen joukko 1-10, S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. A on S:n osajoukko. A:n maksimi (9) ei ole maksimi koko joukolle, joka on 10. Näin ollen 9 on paikallinen maksimi.
Maailmanlaajuinen maksimi
Funktion tai joukon suurin kokonaisarvo tunnetaan globaalina maksimina. On asetettu S, 10 on globaali maksimi. Tämä elementti on suurempi kuin mikään joukon arvo. Jos se on funktio, se on suurempi kuin mikään muu funktion arvo joukon koko toimialueella (koko verkkotunnuksen suurin elementti). Funktion tai joukon globaali maksimi on ainutlaatuinen (kyseessä tapauksessa).
Funktion tapauksessa maksimiarvolla funktion gradientti on nolla. Gradientti juuri ennen maksimiarvoa on positiivinen ja heti sen jälkeen negatiivinen. Tätä käytetään testinä paikallisten maksimien löytämiseksi funktioista (ensimmäinen derivaatan testi).
Mitä eroa on yleisellä maksimilla ja paikallisella maksimilla?
• Maksimi on joukon tai funktion alueen suurin alkio.
• Globaali maksimi on suurin arvo joukon kokonaiselementtien tai funktion arvojen joukossa.
• Paikallinen maksimi on funktion osajoukon tai tietyn alueen suurin elementti.
• Maailmanlaajuinen maksimi on yksilöllinen, kun taas paikallinen maksimi ei ole. Paikallisia enimmäismääriä voi olla useampi kuin yksi. Jos on vain yksi paikallinen maksimi, se on globaali maksimi.
