Toistensa yksinomaiset vs itsenäiset tapahtumat
Ihmiset sekoittavat usein toisensa poissulkevien tapahtumien käsitteen itsenäisiin tapahtumiin. Itse asiassa nämä ovat kaksi eri asiaa.
Olkoon A ja B mitkä tahansa kaksi sattumanvaraiseen kokeeseen E liittyvää tapahtumaa. P(A):ta kutsutaan "A:n todennäköisyydeksi". Samalla tavalla voimme määritellä B:n todennäköisyyden P(B), A:n tai B:n todennäköisyyden P(A∪B) ja A:n ja B:n todennäköisyyden P(A∩B). Sitten P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Kahden tapahtuman sanotaan kuitenkin sulkevan toisensa pois, jos yhden tapahtuman esiintyminen ei vaikuta toiseen. Toisin sanoen ne eivät voi tapahtua samanaikaisesti. Siksi, jos kaksi tapahtumaa A ja B ovat toisensa poissulkevia, niin A∩B=∅ ja näin ollen tämä tarkoittaa, että P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Olkoon A ja B kaksi tapahtumaa näyteavaruudessa S. A:n ehdollinen todennäköisyys, koska B on tapahtunut, merkitään P(A | B) ja määritellään seuraavasti; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), jos P(B)>0. (muuten sitä ei ole määritelty.)
Tapahtuman A sanotaan olevan riippumaton tapahtumasta B, jos A:n toteutumisen todennäköisyyteen ei vaikuta se, onko B tapahtunut vai ei. Toisin sanoen tapahtuman B lopputuloksella ei ole vaikutusta tapahtuman A lopputulokseen. Siksi P(A | B)=P(A). Vastaavasti B on riippumaton A:sta, jos P(B)=P(B | A). Tästä voidaan päätellä, että jos A ja B ovat itsenäisiä tapahtumia, niin P(A∩B)=P(A). P(B)
Oletetaan, että numeroitu kuutio heitetään ja reilu kolikko käännetään. Olkoon A tapahtuma, joka saa pään, ja B tapahtuma, joka heittää parillisen luvun. Sitten voidaan päätellä, että tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, koska toisen lopputulos ei vaikuta toisen lopputulokseen. Siksi P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Koska P(A∩B)≠0, A ja B eivät voi olla toisiaan poissulkevia.
Oletetaan, että uurnassa on 7 valkoista ja 8 mustaa marmoria. Määrittele tapahtuma A valkoisen marmorin piirtämiseksi ja tapahtuma B mustan marmorin piirtämiseksi. Olettaen, että jokainen marmori vaihdetaan sen värin merkitsemisen jälkeen, P(A) ja P(B) ovat aina samat riippumatta siitä, kuinka monta kertaa vedämme uurnasta. Marblejen vaihtaminen tarkoittaa, että todennäköisyydet eivät muutu piirtämisestä toiseen riippumatta siitä, minkä värin valitsimme viimeisellä arvonnalla. Siksi tapahtumat A ja B ovat riippumattomia.
Jos marmorit piirretään ilman korvausta, kaikki muuttuu. Tämän oletuksen mukaan tapahtumat A ja B eivät ole riippumattomia. Valkoisen marmorin piirtäminen ensimmäisellä kerralla muuttaa mustan marmorin piirtämisen todennäköisyyttä toisella piirryksellä ja niin edelleen. Toisin sanoen jokaisella arvonnalla on vaikutus seuraavaan arvontaan, joten yksittäiset arvonnat eivät ole riippumattomia.
Ero toisiaan poissulkevien ja riippumattomien tapahtumien välillä
– Tapahtumien keskinäinen yksinoikeus tarkoittaa, että joukkojen A ja B välillä ei ole päällekkäisyyttä. Tapahtumien riippumattomuus tarkoittaa, että A:n tapahtuminen ei vaikuta B:n tapahtumiseen.
– Jos kaksi tapahtumaa A ja B poissulkevat toisensa, niin P(A∩B)=0.
– Jos kaksi tapahtumaa A ja B ovat riippumattomia, niin P(A∩B)=P(A). P(B)
