Riippuvaiset vs itsenäiset tapahtumat
Jokapäiväisessä elämässämme kohtaamme tapahtumia epävarmoina. Esimerkiksi mahdollisuus voittaa ostamasi lotto tai mahdollisuus saada hakemasi työpaikka. Perustodennäköisyysteoriaa käytetään määrittämään matemaattisesti mahdollisuutta tapahtua jotain. Todennäköisyys liittyy aina satunnaisiin kokeisiin. Kokeilua, jossa on useita mahdollisia tuloksia, sanotaan satunnaiseksi kokeeksi, jos yksittäisen kokeen tulosta ei voida ennustaa etukäteen. Riippuvat ja riippumattomat tapahtumat ovat todennäköisyysteoriassa käytettyjä termejä.
Tapahtuman B sanotaan olevan riippumaton tapahtumasta A, jos B:n toteutumisen todennäköisyyteen ei vaikuta se, onko A tapahtunut vai ei. Yksinkertaisesti kaksi tapahtumaa ovat riippumattomia, jos toisen lopputulos ei vaikuta toisen tapahtuman todennäköisyyteen. Toisin sanoen B on riippumaton A:sta, jos P(B)=P(B|A). Vastaavasti A on riippumaton B:stä, jos P(A)=P(A|B). Tässä P(A|B) merkitsee ehdollista todennäköisyyttä A olettaen, että B on tapahtunut. Jos harkitsemme kahden nopan heittämistä, yhdessä noppaa näkyvällä numerolla ei ole vaikutusta siihen, mitä toisessa noppaa on tullut.
Kahdelle tapahtumalle A ja B näyteavaruudessa S; A:n ehdollinen todennäköisyys, kun B on tapahtunut, on P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Eli jos tapahtuma A on riippumaton tapahtumasta B, niin P(A)=P(A|B) tarkoittaa, että P(A∩B)=P(A) x P(B). Vastaavasti, jos P(B)=P(B|A), niin P(A∩B)=P(A) x P(B) pätee. Tästä syystä voimme päätellä, että kaksi tapahtumaa A ja B ovat riippumattomia, jos ja vain jos ehto P(A∩B)=P(A) x P(B) pätee.
Oletetaan, että heitämme noppaa ja heitämme kolikon samanaikaisesti. Tällöin kaikkien mahdollisten tulosten joukko eli näyteavaruus on S={(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)}. Olkoon tapahtuma A tapahtuma, jossa päät saadaan, niin tapahtuman A todennäköisyys, P(A) on 6/12 tai 1/2, ja olkoon B tapahtuma, jossa noppa saa kolmen kerrannaisen. Sitten P(B)=4/12=1/3. Millään näistä kahdesta tapahtumasta ei ole vaikutusta toisen tapahtuman toteutumiseen. Näin ollen nämä kaksi tapahtumaa ovat riippumattomia. Koska joukko (A∩B)={(3, H), (6, H)}, todennäköisyys sille, että tapahtuma saa päitä ja kolmen kerrannaisia kuoppiin, eli P(A∩B) on 2/12 tai 1/6. Kertolasku P (A) x P(B) on myös 1/6. Koska kaksi tapahtumaa A ja B pitävät ehdon, voimme sanoa, että A ja B ovat itsenäisiä tapahtumia.
Jos tapahtuman lopputulokseen vaikuttaa toisen tapahtuman lopputulos, tapahtuman sanotaan olevan riippuvainen.
Oletetaan, että meillä on pussi, joka sisältää 3 punaista palloa, 2 valkoista palloa ja 2 vihreää palloa. Todennäköisyys piirtää valkoinen pallo satunnaisesti on 2/7. Mikä on todennäköisyys vetää vihreä pallo? Onko 2/7?
Jos olisimme vetäneet toisen pallon ensimmäisen pallon vaihtamisen jälkeen, tämä todennäköisyys on 2/7. Jos emme kuitenkaan vaihda ensimmäistä irti otettuamme palloa, meillä on pussissa vain kuusi palloa, joten vihreän pallon vedon todennäköisyys on nyt 2/6 tai 1/3. Siksi toinen tapahtuma on riippuvainen, koska ensimmäinen tapahtuma vaikuttaa toiseen tapahtumaan.
Mitä eroa on riippuvaisen tapahtuman ja itsenäisen tapahtuman välillä?
