Logaritminen vs eksponentiaalinen | Eksponentiaalinen funktio vs logaritminen funktio
Funktiot ovat yksi tärkeimmistä matemaattisten objektien luokista, joita käytetään laajasti lähes kaikilla matematiikan osa-alueilla. Kuten niiden nimet viittaavat, sekä eksponentiaalinen funktio että logaritminen funktio ovat kaksi erikoisfunktiota.
Funktio on kahden joukon välinen suhde, joka on määritelty siten, että jokaiselle ensimmäisen joukon elementille arvo, joka vastaa sitä toisessa joukossa, on yksilöllinen. Olkoon ƒ joukosta A joukkoon B määritetty funktio. Sitten jokaiselle x ϵ A:lle symboli ƒ(x) merkitsee joukon B yksilöllistä arvoa, joka vastaa x:ää. Sitä kutsutaan x:n kuvaksi ƒ:n alla. Siksi relaatio ƒ A:sta B:hen on funktio, jos ja vain jos kullekin x ϵ A:lle ja y ϵ A:lle, jos x=y, niin ƒ(x)=ƒ(y). Joukkoa A kutsutaan funktion ƒ toimialueeksi, ja se on joukko, jossa funktio määritellään.
Mikä on eksponentiaalinen funktio?
Eksponenttifunktio on funktio, jonka antaa ƒ(x)=ex, missä e=lim(1 + 1/n) (≈ 2,718…) ja on transsendenttinen irrationaaliluku. Yksi funktion erikoisuuksista on, että funktion derivaatta on yhtä suuri kuin itsensä; eli kun y=ex, dy/dx=ex Lisäksi funktio on kaikkialla jatkuvasti kasvava funktio, jonka x-akseli on asymptootti. Siksi toiminto on myös yksi yhteen. Jokaiselle x ϵ R:lle on ex> 0, ja voidaan osoittaa, että se on R:ssä + Lisäksi se noudattaa perusidentiteettiä ex+y=exey ja e0 =1. Funktio voidaan esittää myös käyttämällä 1 + x/1 antamaa sarjalaajennusta! + x2/2! + x3/3! + … + x/n! + …
Mikä on logaritminen funktio?
Logaritminen funktio on eksponentiaalisen funktion käänteisfunktio. Koska eksponentiaalinen funktio on yksi yhteen ja R +, funktio g voidaan määrittää positiivisten reaalilukujen joukosta g(y:n antamaan reaalilukujen joukkoon)=x, jos ja vain jos, y=ex Tätä funktiota g kutsutaan logaritmifunktioksi tai yleisimmin luonnolliseksi logaritmiksi. Sitä merkitään g(x)=log ex=ln x. Koska se on eksponentiaalisen funktion käänteisfunktio, jos otamme eksponentiaalisen funktion kaavion heijastuksen viivan y=x yli, niin saadaan logaritmisen funktion kuvaaja. Siten funktio on asymptoottinen y-akselille.
Logaritminen funktio noudattaa joitain perussääntöjä, joista ln xy=ln x + ln y, ln x/y=ln x – ln y ja ln xy=y ln x ovat tärkeimmät. Tämä on myös kasvava toiminto, ja se on jatkuvaa kaikkialla. Siksi se on myös yksitellen. Voidaan osoittaa, että se on R.
Mitä eroa on eksponentiaalisella funktiolla ja logaritmisella funktiolla?
• Eksponentiaalinen funktio saadaan kaavalla ƒ(x)=ex, kun taas logaritminen funktio on g(x)=ln x, ja edellinen on käänteisfunktio jälkimmäinen.
• Eksponentiaalisen funktion alue on joukko reaalilukuja, mutta logaritmisen funktion alue on joukko positiivisia reaalilukuja.
• Eksponentiaalisen funktion alue on joukko positiivisia reaalilukuja, mutta logaritmisen funktion alue on joukko reaalilukuja.
