Fourier-sarja vs Fourier-muunnos
Fourier-sarja jakaa jaksollisen funktion sinien ja kosinien summaksi, joilla on eri taajuudet ja amplitudit. Fourier-sarja on Fourier-analyysin haara, ja sen esitteli Joseph Fourier. Fourier-muunnos on matemaattinen operaatio, joka katkaisee signaalin sen muodostaville taajuuksille. Alkuperäistä signaalia, joka muuttui ajan myötä, kutsutaan signaalin aikatason esitykseksi. Fourier-muunnosta kutsutaan signaalin taajuusalueen esitykseksi, koska se riippuu taajuudesta. Sekä signaalin taajuustason esitystä että prosessia, jota käytetään signaalin muuntamiseksi taajuusalueeseen, kutsutaan Fourier-muunnokseksi.
Mikä on Fourier-sarja?
Kuten aiemmin mainittiin, Fourier-sarja on jaksollisen funktion laajennus, jossa käytetään sinien ja kosinien ääretöntä summaa. Fourier-sarja kehitettiin alun perin lämpöyhtälöiden ratkaisemiseen, mutta myöhemmin havaittiin, että samalla tekniikalla voidaan ratkaista suuri joukko matemaattisia tehtäviä, erityisesti ongelmia, jotka sisältävät lineaarisia differentiaaliyhtälöitä vakiokertoimilla. Nyt Fourier-sarjalla on sovelluksia useilla aloilla, mukaan lukien sähkötekniikka, värähtelyanalyysi, akustiikka, optiikka, signaalinkäsittely, kuvankäsittely, kvanttimekaniikka ja ekonometria. Fourier-sarjat käyttävät sini- ja kosinifunktioiden ortogonaalisuussuhteita. Fourier-sarjan laskenta ja tutkiminen tunnetaan harmonisena analyysinä ja se on erittäin hyödyllinen työskenneltäessä mieliv altaisten jaksollisten funktioiden kanssa, koska se mahdollistaa funktion jakamisen yksinkertaisiin termeihin, joiden avulla voidaan löytää ratkaisu alkuperäiseen ongelmaan.
Mikä on Fourier-muunnos?
Fourier-muunnos määrittää aika-alueen signaalin ja sen taajuustason esityksen välisen suhteen. Fourier-muunnos hajottaa funktion värähteleviksi funktioiksi. Koska kyseessä on muunnos, alkuperäinen signaali voidaan saada muunnoksen tiedostamisesta, joten prosessissa ei synny tai häviä mitään tietoa. Fourier-sarjan tutkimus itse asiassa antaa motivaation Fourier-muunnokselle. Sinien ja kosinien ominaisuuksien vuoksi on mahdollista saada takaisin kunkin aallon osuus summaan integraalin avulla. Fourier-muunnolla on joitain perusominaisuuksia, kuten lineaarisuus, translaatio, modulaatio, skaalaus, konjugaatio, kaksinaisuus ja konvoluutio. Fourier-muunnosta käytetään differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa, koska Fourier-muunnos liittyy läheisesti Laplace-muunnukseen. Fourier-muunnosta käytetään myös ydinmagneettisessa resonanssissa (NMR) ja muissa spektroskopioissa.
Fourier-sarjan ja Fourier-muunnosten välinen ero
Fourier-sarja on jaksollisen signaalin laajennus sinien ja kosinien lineaarisena yhdistelmänä, kun taas Fourier-muunnos on prosessi tai toiminto, jota käytetään signaalien muuntamiseen aika-alueelta taajuusalueeksi. Fourier-sarja on määritelty jaksollisille signaaleille, ja Fourier-muunnosta voidaan soveltaa jaksollisiin (ilman jaksoittaisuutta esiintyviin) signaaleihin. Kuten edellä mainittiin, Fourier-sarjan tutkimus itse asiassa antaa motivaation Fourier-muunnokselle.
