Osajoukot vs oikeat osajoukot
On aivan luonnollista oiv altaa maailma luokittelemalla asiat ryhmiin. Tämä on matemaattisen käsitteen "joukkoteoria" perusta. Joukkoteoria kehitettiin 1800-luvun lopulla, ja nyt se on kaikkialla läsnä matematiikassa. Lähes kaikki matematiikka voidaan johtaa joukkoteorian perusteella. Joukkoteorian soveltaminen vaihtelee abstraktista matematiikasta kaikkiin aineelliseen fyysiseen maailmaan.
Osajoukko ja Oikea osajoukko ovat kaksi terminologiaa, joita käytetään usein joukkoteoriassa joukkojen välisten suhteiden esittelyyn.
Jos jokainen joukon A alkio on myös joukon B jäsen, joukkoa A kutsutaan B:n osajoukoksi. Tämä voidaan myös lukea "A sisältyy B:hen". Muodollisemmin A on B:n osajoukko, jota merkitään A⊆B, jos x∈A tarkoittaa x∈B.
Jokainen joukko itsessään on saman joukon alijoukko, koska tietysti kaikki joukossa olevat elementit ovat myös samassa joukossa. Sanomme "A on B:n oikea osajoukko", jos A on B:n osajoukko, mutta A ei ole yhtä suuri kuin B. Käytämme merkintää A⊂B osoittaaksemme, että A on B:n oikea osajoukko. Esimerkiksi joukossa {1, 2} on 4 osajoukkoa, mutta vain 3 oikeaa osajoukkoa. Koska {1, 2} on osajoukko, mutta ei oikea osajoukko {1, 2}.
Jos joukko on toisen joukon oikea osajoukko, se on aina tämän joukon osajoukko (eli jos A on B:n oikea osajoukko, se tarkoittaa, että A on B:n osajoukko). Mutta voi olla osajoukkoja, jotka eivät ole niiden superjoukkojen oikeita osajoukkoja. Jos kaksi joukkoa ovat yhtä suuret, ne ovat toistensa osajoukkoja, mutta eivät toistensa varsinaisia osajoukkoja.
Lyhyesti:
– Jos A on B:n osajoukko, A ja B voivat olla yhtä suuria.
– Jos A on B:n oikea osajoukko, niin A ei voi olla yhtä suuri kuin B.
