Binomiaalinen vs normaalijakauma
Satunnaismuuttujien todennäköisyysjakaumilla on tärkeä rooli tilastojen alalla. Näistä todennäköisyysjakaumista binomijakauma ja normaalijakauma ovat kaksi yleisimmin esiintyvistä tosielämässä.
Mikä on binomijakauma?
Binomiaalinen jakauma on todennäköisyysjakauma, joka vastaa satunnaismuuttujaa X, joka on riippumattomien kyllä/ei-kokeiden äärellisen sarjan onnistumisten lukumäärä, joista jokaisella on onnistumisen todennäköisyys p. X:n määritelmästä käy ilmi, että se on diskreetti satunnaismuuttuja; siksi myös binomijakauma on diskreetti.
Jakauma merkitään X ~ B (n, p) missä n on kokeiden lukumäärä ja p on onnistumisen todennäköisyys. Todennäköisyysteorian mukaan voidaan päätellä, että B (n, p) seuraa todennäköisyysmassafunktiota [lateksi] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/lateksi]. Tästä yhtälöstä voidaan edelleen päätellä, että X:n odotusarvo, E(X)=np ja X:n varianssi, V(X)=np (1-p).
Ajattele esimerkiksi satunnaista koetta heittää kolikkoa 3 kertaa. Määrittele onnistuminen H:n saamiseksi, epäonnistuminen T:ksi ja satunnaismuuttuja X onnistumisten lukumääräksi kokeessa. Sitten X ~ B (3, 0.5) ja X:n todennäköisyysmassafunktio, jonka antaa [lateksi] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0,5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/lateksi]. Siksi todennäköisyys saada vähintään 2 H:ta on P(X ≥ 2)=P (X=2 tai X=3)=P (X=2) + P (X=3)=3 C2(0,52)(0,51) + 3 C3(0,53)(0,50)=0,375 + 0,125=0,5.
Mikä on normaalijakauma?
Normaalijakauma on jatkuva todennäköisyysjakauma, jonka määrittää todennäköisyystiheysfunktio, [lateksi] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/lateksi]. Parametrit [lateksi] \mu ja \\sigma [/latex] ilmaisevat kiinnostavan populaation keskiarvon ja keskihajonnan. Kun [lateksi] \mu=0 ja \\sigma=1 [/lateksi], jakaumaa kutsutaan normaaliksi normaalijakaumaksi.
Tätä jakaumaa kutsutaan normaaliksi, koska suurin osa luonnonilmiöistä noudattaa normaalijakaumaa. Esimerkiksi ihmispopulaation älykkyysosamäärä jakautuu normaalisti. Kuten kaaviosta nähdään, se on unimodaalinen, symmetrinen keskiarvon ja kellon muotoisen suhteen. Keskiarvo, tila ja mediaani ovat samat. Käyrän alla oleva pinta-ala vastaa väestön osaa, joka täyttää tietyn ehdon.
Populaation osat välillä [lateksi] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/lateksi], [lateksi] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/lateksi], [lateksi] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/lateksi] ovat noin 68,2 %, 95,6 % ja 99,8 % vastaavasti.
Mitä eroa on binomiaali- ja normaalijakaumilla?
- Binomijakauma on diskreetti todennäköisyysjakauma, kun taas normaalijakauma on jatkuva.
- Binomijakauman todennäköisyysmassafunktio on [lateksi]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/lateksi], kun taas normaalijakauman todennäköisyystiheysfunktio on [lateksi] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
- Binomiaalinen jakauma approksimoidaan normaalijakaumalla tietyissä olosuhteissa, mutta ei päinvastoin.
