Subset vs Superset
Matematiikassa joukon käsite on perustavanlaatuinen. Moderni joukkoteorian tutkimus virallistettiin 1800-luvun lopulla. Joukkoteoria on matematiikan peruskieli ja modernin matematiikan perusperiaatteiden kokoelma. Toisa alta se on oma matematiikan haara, joka on luokiteltu modernin matematiikan matemaattisen logiikan haaraksi.
Joukko on hyvin määritelty kokoelma objekteja. Hyvin määritelty tarkoittaa, että on olemassa mekanismi, jonka avulla voidaan määrittää, kuuluuko tietty objekti tiettyyn joukkoon vai ei. Joukkoon kuuluvia objekteja kutsutaan joukon elementeiksi tai jäseniksi. Joukot merkitään yleensä isoilla kirjaimilla ja pieniä kirjaimia käytetään edustamaan elementtejä.
A joukko A sanotaan olevan joukon B osajoukko; jos ja vain jos jokainen joukon A alkio on myös joukon B alkio. Sellaista joukkojen välistä suhdetta merkitään A ⊆ B. Se voidaan lukea myös siten, että 'A sisältyy B:hen'. Joukon A sanotaan olevan oikea osajoukko, jos A ⊆ B ja A ≠B, ja sitä merkitään A ⊂ B. Jos A:ssa on edes yksi jäsen, joka ei ole B:n jäsen, niin A ei voi olla B:n osajoukko. Tyhjä joukko on minkä tahansa joukon osajoukko, ja joukko itse on saman joukon osajoukko.
Jos A on B:n osajoukko, niin A sisältyy B:hen. Se tarkoittaa, että B sisältää A:n tai toisin sanoen B on A:n superjoukko. Kirjoitamme A ⊇ B osoittamaan, että B on a superjoukko A.
Esimerkiksi A={1, 3} on osajoukko B={1, 2, 3}, koska kaikki B:n sisältämät elementit A:ssa. B on A:n superjoukko, koska B sisältää A. Olkoon A={1, 2, 3} ja B={3, 4, 5}. Sitten A∩B={3}. Siksi sekä A että B ovat A∩B:n superjoukkoja. Joukko A∪B on sekä A:n että B:n superjoukko, koska A∪B sisältää kaikki A:n ja B:n elementit.
Jos A on B:n superjoukko ja B on C:n superjoukko, niin A on C:n superjoukko. Mikä tahansa joukko A on tyhjän joukon superjoukko ja mikä tahansa joukko itse tämän joukon superjoukko.
'A on B:n osajoukko' luetaan myös niin, että 'A sisältyy B:hen', jota merkitään A ⊆ B.
'B on A:n superjoukko' luetaan myös siten, että 'B on A:ssa', jota merkitään A ⊇ B.
