Power- ja Taylor-sarjan ero

2024 Kirjoittaja: Alex Aldridge | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2023-12-17 13:38

Power Series vs Taylor Series

Matematiikassa reaalisekvenssi on järjestysluettelo reaaliluvuista. Muodollisesti se on funktio luonnollisten lukujen joukosta reaalilukujen joukkoon. Jos a_n on sekvenssin n^th termi, sekvenssiä merkitään ₁, a ₂, …, a_n, …. Otetaan esimerkiksi sarja 1, ½, ⅓, …, ¹ / _{n, …. Se voidaan merkitä nimellä {1/n}.}

On mahdollista määrittää sarja sekvenssien avulla. Sarja on sarjan ehtojen summa. Siksi jokaiselle sekvenssille on liitetty sekvenssi ja päinvastoin. Jos {a_{n} on tarkasteltava sekvenssi, tämän sekvenssin muodostama sarja voidaan esittää seuraavasti:}

Yllä olevassa esimerkissä liittyvä sarja on siis 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

Kuten nimet viittaavat, potenssisarja on erityinen sarja ja sitä käytetään laajasti numeerisessa analyysissä ja siihen liittyvässä matemaattisessa mallintamisessa. Taylor-sarja on erityinen tehosarja, joka tarjoaa vaihtoehtoisen ja helposti manipuloitavan tavan esittää tunnettuja funktioita.

Mikä on Power-sarja?

Tehosarja on sarja muotoa

joka on konvergentti (mahdollisesti) jollekin välille, jonka keskipiste on c. Kertoimet a_{nvoivat olla reaali- tai kompleksilukuja, ja ne ovat riippumattomia x:stä; eli valemuuttuja.}

Esimerkiksi asettamalla a_n=1 jokaiselle n:lle ja c=0, potenssisarja 1+x+x² +…..+ x^{+… saadaan. On helppo havaita, että kun x ε (-1, 1), tämä potenssisarja konvergoi arvoon 1/(1-x).}

A potenssisarja konvergoi, kun x=c. Muut x:n arvot, joille potenssisarjat konvergoivat, ovat aina avoimen intervallin muodossa, jonka keskipiste on c. Eli tulee olemaan arvo 0≤ R ≤ ∞ siten, että jokaiselle x:lle, joka täyttää |x-c|≤ R, potenssisarja on konvergentti ja jokaiselle x:lle, joka täyttää |x-c|> R, potenssisarja on divergentti. Tätä arvoa R kutsutaan potenssisarjan konvergenssisäteeksi (R voi ottaa minkä tahansa reaaliarvon tai positiivisen äärettömän).

Tehosarjoja voidaan lisätä, vähentää, kertoa ja jakaa seuraavien sääntöjen mukaisesti. Harkitse kahta tehosarjaa:

Sitten

ts. vastaavat termit lisätään tai vähennetään yhteen. Lisäksi on mahdollista kertoa ja jakaa kaksi potenssisarjaa käyttämällä identiteettiä

Mikä on Taylor-sarja?

Taylor-sarja on määritelty funktiolle f (x), joka on äärettömästi differentioituva intervallilla. Oletetaan, että f (x) on differentioituva välillä, jonka keskipiste on c. Sitten potenssisarja, jonka antaa

kutsutaan funktion f (x) Taylor-sarjan laajennukseksi noin c:stä. (Tässä f⁽ⁿ⁾ (c) merkitsee n^{th derivaata kohdassa x=c). Numeerisessa analyysissä ääretöntä määrää termejä tässä äärettömässä laajennuksessa käytetään laskettaessa arvoja pisteissä, joissa sarja on konvergentti alkuperäisen funktion kanssa.}

Funktion f (x) sanotaan olevan analyyttinen välillä (a, b), jos jokaiselle x ε (a, b), f (x):n Taylor-sarja konvergoi funktioon f (x). Esimerkiksi 1/(1-x) on analyyttinen (-1, 1), koska sen Taylor-laajennus 1+x+x²+….+ x ^{+… suppenee funktioon tällä välillä, ja e}x ^{on analyyttinen kaikkialla, koska e}x ^{Taylor-sarja konvergoi e} x ^{jokaiselle reaaliluvulle x.}

Mitä eroa on Power-sarjan ja Taylor-sarjan välillä?

1. Taylor-sarja on erityinen tehosarjojen luokka, joka on määritelty vain funktioille, jotka ovat äärettömästi differentioituvia jollain avoimella aikavälillä.

2. Taylor-sarjat ovat erikoismuodossa

ja potenssisarja voi olla mikä tahansa sarja muotoa