Laplace vs Fourier-muunnokset
Sekä Laplace-muunnos että Fourier-muunnos ovat integraalimuunnoksia, joita käytetään yleisimmin matemaattisina menetelminä matemaattisesti mallinnettujen fyysisten järjestelmien ratkaisemiseen. Prosessi on yksinkertainen. Monimutkainen matemaattinen malli muunnetaan yksinkertaisemmaksi, ratkaistavaksi malliksi integraalimuunnoksen avulla. Kun yksinkertaisempi malli on ratkaistu, käytetään käänteistä integraalimuunnosta, joka tarjoaisi ratkaisun alkuperäiseen malliin.
Esimerkiksi koska useimmat fysikaaliset järjestelmät johtavat differentiaaliyhtälöihin, ne voidaan muuntaa algebrallisiksi yhtälöiksi tai vähäisemmässä määrin helposti ratkaistaviksi differentiaaliyhtälöiksi integraalimuunnoksen avulla. Sitten ongelman ratkaiseminen on helpompaa.
Mikä on Laplace-muunnos?
Kun on annettu todellisen muuttujan t funktio f (t), sen Laplace-muunnos määritellään integraalilla [lateksi] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (aina kun se on olemassa), joka on kompleksisen muuttujan s funktio. Se on yleensä merkitty L { f (t)}. Funktion F (s) Laplacen käänteismuunnos otetaan funktioksi f (t) siten, että L { f (t)}=F (s), ja tavallisessa matemaattisessa merkinnässä kirjoitetaan L-1{ F (s)}=f (t). Käänteismuunnos voidaan tehdä ainutlaatuiseksi, jos nollafunktiot eivät ole sallittuja. Nämä kaksi voidaan tunnistaa funktioavaruudessa määritellyiksi lineaarioperaattoreiksi, ja on myös helppo nähdä, että L -1{ L { f (t)}}=f (t), jos nollafunktiot eivät ole sallittuja.
Seuraavassa taulukossa on lueteltu joidenkin yleisimpien funktioiden Laplace-muunnokset.
Mikä on Fourier-muunnos?
Kun on annettu todellisen muuttujan t funktio f (t), sen Laplace-muunnos määritellään integraalilla [lateksi] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (aina kun se on olemassa), ja sitä merkitään yleensä kirjaimella F { f (t)}. Käänteismuunnos F -1{ F (α)} saadaan integraalilla [lateksi] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/lateksi]. Fourier-muunnos on myös lineaarinen, ja sitä voidaan pitää funktioavaruudessa määriteltynä operaattorina.
Fourier-muunnoksen avulla alkuperäinen funktio voidaan kirjoittaa seuraavasti edellyttäen, että funktiossa on vain äärellinen määrä epäjatkuvuuksia ja se on täysin integroitavissa.
Mitä eroa on Laplace- ja Fourier-muunnoksilla?
- Funktion f (t) Fourier-muunnos määritellään [lateksi] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/lateksi], kun taas sen Laplace-muunnos määritellään [lateksiksi] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/lateksi].
- Fourier-muunnos määritellään vain funktioille, jotka on määritelty kaikille reaaliluvuille, kun taas Laplace-muunnos ei vaadi funktion määrittelyä negatiivisten reaalilukujen joukossa.
- Fourier-muunnos on Laplace-muunnoksen erikoistapaus. Voidaan nähdä, että molemmat ovat samat ei-negatiivisille reaaliluvuille. (eli Laplacen s:t ovat iα + β, missä α ja β ovat todellisia siten, että e β=1/ √(2ᴫ))
- Jokaisella funktiolla, jolla on Fourier-muunnos, on Laplace-muunnos, mutta ei päinvastoin.
