Todennäköisyysjakaumafunktio vs. todennäköisyystiheysfunktio
Todennäköisyys on tapahtuman todennäköisyys. Tämä ajatus on hyvin yleinen, ja sitä käytetään usein jokapäiväisessä elämässä, kun arvioimme mahdollisuuksiamme, liiketoimiamme ja monia muita asioita. Tämän yksinkertaisen konseptin laajentaminen laajempiin tapahtumiin on hieman haastavampaa. Emme esimerkiksi voi helposti selvittää lottovoiton todennäköisyyttä, mutta on kätevää, melko intuitiivista sanoa, että on todennäköistä, että yksi kuudesta saamme numeron kuusi heitetyssä nopana.
Kun tapahtumien määrä kasvaa tai yksittäisten mahdollisuuksien määrä on suuri, tämä melko yksinkertainen ajatus todennäköisyydestä epäonnistuu. Siksi sille on annettava vankka matemaattinen määritelmä ennen kuin lähestytään monimutkaisempia ongelmia.
Kun yksittäisessä tilanteessa tapahtuvien tapahtumien määrä on suuri, on mahdotonta pitää jokaista tapahtumaa yksittäin samanlaisena kuin heitetyn nopan esimerkissä. Näin ollen koko tapahtumasarja tiivistetään ottamalla käyttöön satunnaismuuttujan käsite. Se on muuttuja, joka voi olettaa eri tapahtumien arvot kyseisessä tilanteessa (tai näyteavaruudessa). Se antaa matemaattisen mielen yksinkertaisille tapahtumille tilanteessa ja matemaattisen tavan käsitellä tapahtumaa. Tarkemmin sanottuna satunnaismuuttuja on reaaliarvofunktio näyteavaruuden elementtien yli. Satunnaismuuttujat voivat olla joko diskreettejä tai jatkuvia. Ne on yleensä merkitty englannin aakkosten isoilla kirjaimilla.
Todennäköisyysjakaumafunktio (tai yksinkertaisesti todennäköisyysjakauma) on funktio, joka määrittää kunkin tapahtuman todennäköisyysarvot; eli se tarjoaa suhteen niiden arvojen todennäköisyyksiin, jotka satunnaismuuttuja voi saada. Todennäköisyysjakaumafunktio määritellään diskreeteille satunnaismuuttujille.
Todennäköisyystiheysfunktio on jatkuvien satunnaismuuttujien todennäköisyysjakaumafunktion ekvivalentti, antaa todennäköisyyden sille, että tietty satunnaismuuttuja saa tietyn arvon.
Jos X on diskreetti satunnaismuuttuja, funktiota, joka on annettu muodossa f (x)=P (X=x) jokaiselle x:lle X:n alueella, kutsutaan todennäköisyysjakaumafunktioksi. Funktio voi toimia todennäköisyysjakaumafunktiona, jos ja vain jos funktio täyttää seuraavat ehdot.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Reaalilukujoukon yli määritettyä funktiota f (x) kutsutaan jatkuvan satunnaismuuttujan X todennäköisyystiheysfunktioksi, jos ja vain jos
P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx kaikille todellisille vakioille a ja b.
Todennäköisyystiheysfunktion tulisi täyttää myös seuraavat ehdot.
1. f (x) ≥ 0 kaikille x:ille: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Sekä todennäköisyysjakaumafunktiota että todennäköisyystiheysfunktiota käytetään edustamaan todennäköisyyksien jakautumista näyteavaruudessa. Yleensä näitä kutsutaan todennäköisyysjakaumaksi.
Tilastollista mallintamista varten johdetaan vakiotodennäköisyystiheysfunktiot ja todennäköisyysjakaumafunktiot. Normaalijakauma ja normaali normaalijakauma ovat esimerkkejä jatkuvista todennäköisyysjakaumista. Binomijakauma ja Poisson-jakauma ovat esimerkkejä diskreeteistä todennäköisyysjakaumista.
Mitä eroa on todennäköisyysjakauman ja todennäköisyystiheysfunktion välillä?
• Todennäköisyysjakaumafunktio ja todennäköisyystiheysfunktio ovat funktioita, jotka on määritelty näyteavaruudessa, jotta kullekin elementille voidaan määrittää asiaankuuluva todennäköisyysarvo.
• Diskreeteille satunnaismuuttujille on määritelty todennäköisyysjakaumafunktiot, kun taas jatkuville satunnaismuuttujille on määritelty todennäköisyystiheysfunktiot.
• Todennäköisyysarvojen (eli todennäköisyysjakaumien) jakauman kuvaavat parhaiten todennäköisyystiheysfunktio ja todennäköisyysjakaumafunktio.
• Todennäköisyysjakaumafunktio voidaan esittää arvoina taulukossa, mutta se ei ole mahdollista todennäköisyystiheysfunktiolle, koska muuttuja on jatkuva.
• Piirrettynä todennäköisyysjakaumafunktio antaa pylväskuvaajan, kun taas todennäköisyystiheysfunktio antaa käyrän.
• Todennäköisyysjakaumafunktion pylväiden korkeuden/pituuden on lisättävä 1, kun taas todennäköisyystiheysfunktion käyrän alla olevan alueen on lisättävä 1.
• Molemmissa tapauksissa funktion kaikkien arvojen tulee olla ei-negatiivisia.
