Karteesiset koordinaatit vs napakoordinaatit
Geometriassa koordinaattijärjestelmä on referenssijärjestelmä, jossa numeroita (tai koordinaatteja) käytetään yksilöllisesti määrittämään pisteen tai muun geometrisen elementin sijainti avaruudessa. Koordinaattijärjestelmät mahdollistavat geometristen tehtävien muuntamisen numeerisiksi ongelmaksi, mikä muodostaa perustan analyyttiselle geometrialle.
Karteesinen koordinaattijärjestelmä ja napakoordinaattijärjestelmät ovat kaksi yleisimmistä matematiikassa käytetyistä koordinaattijärjestelmistä.
Karteesiset koordinaatit
Karteesinen koordinaattijärjestelmä käyttää viitteenä reaalilukuviivaa. Yhdessä ulottuvuudessa lukuviiva ulottuu negatiivisesta äärettömästä positiiviseen äärettömyyteen. Kun otetaan huomioon piste 0 aloituksena, kunkin pisteen pituus voidaan mitata. Tämä tarjoaa ainutlaatuisen tavan tunnistaa sijainti rivillä yhdellä numerolla.
Konsepti voidaan laajentaa kahteen ja kolmeen ulottuvuuteen, joissa käytetään toisiinsa nähden kohtisuorassa olevia numeroviivoja. Niillä kaikilla on sama piste 0 kuin aloitus. Numeroviivoja kutsutaan akseleiksi, ja niitä kutsutaan usein X-akseliksi, Y-akseliksi ja Z-akseliksi. Etäisyys pisteestä (0, 0, 0) alkavaan pisteeseen kunkin akselin varrella, joka tunnetaan myös alkupisteenä ja joka annetaan monikkona, tunnetaan pisteen koordinaattina. Tämän avaruuden yleinen piste voidaan esittää koordinaatilla (x, y, z). Tasojärjestelmässä, jossa on vain kaksi akselia, koordinaatit annetaan muodossa (x, y). Akseleiden luoma taso tunnetaan karteesisena tasona, ja siihen viitataan usein akselien kirjaimilla. Esim. XY kone.
Tätä yleistä pistettä voidaan käyttää kuvaamaan erilaisia geometrisia elementtejä pakottamalla yleispiste käyttäytymään tietyllä tavalla. Esimerkiksi yhtälö x^2+y^2=a^2 edustaa ympyrää. Sen sijaan, että piirrät ympyrän säteellä a, on mahdollista merkitä ympyrä abstraktimmin yllä esitetyllä tavalla.
napakoordinaatit
Napakoordinaatit käyttävät eroviittausjärjestelmää pisteen merkitsemiseen. Napakoordinaattijärjestelmä käyttää koordinaatteina vastapäivään kulmaa x-akselin positiivisesta suunnasta ja suoran etäisyyttä pisteeseen.
Paarikoordinaatit voidaan esittää kuten edellä kaksiulotteisessa suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä.
Muunnosta polaaristen ja karteesisten järjestelmien välillä saadaan seuraavilla suhteilla:
r=√(x2 + y2) ↔ x=r cosθ, y=r sinθ
θ=rusketus-1 (x/y)
Mitä eroa on suorakulmaisten koordinaattien ja napakoordinaattien välillä?
• Suorakulmaiset koordinaatit käyttävät numeroviivoja akseleina, ja sitä voidaan käyttää yhdessä, kahdessa tai kolmessa ulottuvuudessa. Siksi sillä on kyky esittää lineaarisia, tasomaisia ja kiinteitä geometrioita.
• Napakoordinaatit käyttävät kulmaa ja pituutta koordinaatteina, ja ne voivat esittää vain lineaarisia ja tasomaisia geometrioita, vaikka se voidaan kehittää sylinterimäiseksi koordinaattijärjestelmäksi, joka edustaa kiinteää geometriaa.
• Molempia järjestelmiä käytetään esittämään imaginaarilukuja määrittämällä imaginaariakseli, ja niillä on tärkeä rooli monimutkaisessa algebrassa. Vaikka tavallisessa muodossa suorakulmaiset koordinaatit ovat reaalilukuja (x, y, z), napajärjestelmän koordinaatit eivät aina ole reaalilukuja; eli jos kulma on annettu asteina, koordinaatit eivät ole todellisia; jos kulma annetaan radiaaneina, koordinaatit ovat reaalilukuja.
