Ortogonaalinen vs ortonormaali
Matematiikassa kahta sanaa ortogonaalinen ja ortonormaali käytetään usein yhdessä vektoreiden kanssa. Tässä termiä "vektori" käytetään siinä mielessä, että se on vektoriavaruuden elementti - lineaarisessa algebrassa käytetty algebrallinen rakenne. Käsittelemme keskustelua varten sisätuloavaruutta – vektoriavaruutta V yhdessä V:ssä määritellyn sisätulon kanssa.
Esimerkiksi sisätulolle avaruus on kaikkien 3-ulotteisten sijaintivektorien joukko tavallisen pistetulon kanssa.
Mikä on ortogonaalinen?
Sisemmän tuloavaruuden V ei-tyhjän osajoukon S sanotaan olevan ortogonaalinen, jos ja vain jos kullekin erilliselle u, v:lle S:ssä [u, v]=0; eli u:n ja v:n sisätulo on yhtä suuri kuin nollaskalaari sisätuloavaruudessa.
Esimerkiksi kaikkien 3-ulotteisten sijaintivektorien joukossa tämä vastaa sanomista, että kunkin erillisen paikkavektoriparin p ja q S:ssä p ja q ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden. (Muista, että tämän vektoriavaruuden sisätulo on pistetulo. Myös kahden vektorin pistetulo on yhtä suuri kuin 0, jos ja vain jos nämä kaksi vektoria ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden.)
Otetaan huomioon joukko S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, joka on 3-ulotteisten sijaintivektoreiden osajoukko. Huomaa, että (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0), 5)=0. Siten joukko S on ortogonaalinen. Erityisesti kahden vektorin sanotaan olevan ortogonaalisia, jos niiden sisätulo on 0. Siksi jokainen Sis-vektoripari on ortogonaalinen.
Mikä on ortonormaali?
Sisemmän tuloavaruuden V ei-tyhjän osajoukon S sanotaan olevan ortonormaali silloin ja vain jos S on ortogonaalinen ja jokaiselle vektorille u S:ssä [u, u]=1. Siksi voidaan nähdä, että jokainen ortonormaali joukko on ortogonaalinen, mutta ei päinvastoin.
Esimerkiksi kaikkien 3-ulotteisten sijaintivektorien joukossa tämä vastaa sanomista, että jokaisella erillisellä paikkavektoriparilla p ja q S:ssä p ja q ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden, ja jokainen p S:ssä, |p|=1. Tämä johtuu siitä, että ehto [p, p]=1 pienenee arvoon p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, mikä vastaa |p:tä |=1. Näin ollen ortogonaalijoukon perusteella voimme aina muodostaa vastaavan ortonormaalijoukon jakamalla jokainen vektori sen magnitudilla.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} on ortonormaali osajoukko kaikkien 3-ulotteisten sijaintivektorien joukosta. On helppo nähdä, että se saatiin jakamalla kukin joukon S vektoreista niiden magnitudeilla.
Mitä eroa on ortogonaalin ja ortonormaalin välillä?
- Sisemmän tuloavaruuden V ei-tyhjän osajoukon S sanotaan olevan ortogonaalinen, jos ja vain jos jokaiselle erilliselle u, v:lle S:ssä [u, v]=0. Se on kuitenkin ortonormaali, jos ja vain jos lisäehto – jokaiselle S:n vektorille u [u, u]=1 täyttyy.
- Kaikki ortonormaaliset joukot ovat ortogonaalisia, mutta eivät päinvastoin.
- Mikä tahansa ortogonaalijoukko vastaa yksilöllistä ortonormaalijoukkoa, mutta ortonormaalijoukko voi vastata monia ortogonaalijoukkoja.
