Satunnaiset muuttujat vs todennäköisyysjakauma
Tilastolliset kokeet ovat satunnaisia kokeita, joita voidaan toistaa loputtomasti tunnetuilla tuloksilla. Sekä satunnaismuuttujat että todennäköisyysjakaumat liittyvät tällaisiin kokeisiin. Jokaiselle satunnaismuuttujalle on liitetty todennäköisyysjakauma, jonka määrittää kumulatiivinen jakaumafunktio.
Mikä on satunnaismuuttuja?
Satunnaismuuttuja on funktio, joka antaa numeerisia arvoja tilastollisen kokeen tuloksiin. Toisin sanoen se on funktio, joka on määritetty tilastollisen kokeen näyteavaruudesta reaalilukujen joukkoon.
Ajattele esimerkiksi satunnaista koetta heittää kolikkoa kahdesti. Mahdolliset lopputulokset ovat HH, HT, TH ja TT (H – päät, T – tarinat). Olkoon muuttuja X kokeessa havaittujen päiden lukumäärä. Tällöin X voi ottaa arvot 0, 1 tai 2, ja se on satunnaismuuttuja. Tässä satunnaismuuttuja X kartoittaa joukon S={HH, HT, TH, TT} (näyteavaruus) joukkoon {0, 1, 2} siten, että HH kartoitetaan 2:ksi, HT:ksi ja TH:ksi. on kuvattu 1:ksi ja TT on kartoitettu 0:ksi. Funktiomerkinnöissä tämä voidaan kirjoittaa muodossa X: S → R missä X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 ja X(TT)=0.
Satunnaismuuttujia on kahta tyyppiä: diskreettejä ja jatkuvia, vastaavasti satunnaismuuttujan saamien mahdollisten arvojen määrä on enintään laskettavissa tai ei. Edellisessä esimerkissä satunnaismuuttuja X on diskreetti satunnaismuuttuja, koska {0, 1, 2} on äärellinen joukko. Harkitse nyt tilastollista koetta luokan oppilaiden painojen selvittämiseksi. Olkoon Y opiskelijan painoksi määritelty satunnaismuuttuja. Y voi ottaa minkä tahansa reaaliarvon tietyllä aikavälillä. Näin ollen Y on jatkuva satunnaismuuttuja.
Mikä on todennäköisyysjakauma?
Todennäköisyysjakauma on funktio, joka kuvaa todennäköisyyttä, että satunnaismuuttuja saa tietyt arvot.
Funktion, jota kutsutaan kumulatiiviseksi jakaumafunktioksi (F), voidaan määrittää reaalilukujoukosta reaalilukujen joukkoon muodossa F(x)=P(X ≤ x) (todennäköisyys, että X on pienempi kuin tai yhtä suuri kuin x) jokaiselle mahdolliselle tulokselle x. Nyt X:n kumulatiivinen jakauma ensimmäisessä esimerkissä voidaan kirjoittaa muodossa F(a)=0, jos a<0; F(a)=0,25, jos 0 Diskreettien satunnaismuuttujien tapauksessa funktio voidaan määrittää mahdollisten tulosten joukosta reaalilukujen joukkoon siten, että ƒ(x)=P(X=x) (X:n todennäköisyys on yhtä suuri kuin x) jokaiselle mahdolliselle tulokselle x. Tätä funktiota ƒ kutsutaan satunnaismuuttujan X todennäköisyysmassafunktioksi. Nyt X:n todennäköisyysmassafunktio ensimmäisessä tietyssä esimerkissä voidaan kirjoittaa muotoon ƒ(0)=0.25, ƒ(1)=0.5, ƒ(2)=0.25 ja muuten ƒ(x)=0. Siten todennäköisyysmassafunktio yhdessä kumulatiivisen jakaumafunktion kanssa kuvaa X:n todennäköisyysjakaumaa ensimmäisessä esimerkissä. Jatkuvien satunnaismuuttujien tapauksessa funktio, jota kutsutaan todennäköisyystiheysfunktioksi (ƒ), voidaan määritellä muodossa ƒ(x)=dF(x)/dx jokaiselle x:lle, jossa F on satunnaismuuttujan kumulatiivinen jakaumafunktio. jatkuva satunnaismuuttuja. On helppo nähdä, että tämä funktio täyttää ∫ƒ(x)dx=1. Todennäköisyystiheysfunktio yhdessä kumulatiivisen jakaumafunktion kanssa kuvaa jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumaa. Esimerkiksi normaalijakauma (joka on jatkuva todennäköisyysjakauma) kuvataan käyttämällä todennäköisyystiheysfunktiota ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x- µ)]2/(2σ2)). Mitä eroa on satunnaismuuttujilla ja todennäköisyysjakaumalla? • Satunnaismuuttuja on funktio, joka yhdistää näyteavaruuden arvot reaalilukuihin. • Todennäköisyysjakauma on funktio, joka yhdistää arvot, jotka satunnaismuuttuja voi saada vastaavaan esiintymistodennäköisyyteen.
