Suhde vs toiminto
Lukion matematiikasta lähtien funktiosta tulee yleinen termi. Vaikka sitä käytetään melko usein, sitä käytetään ymmärtämättä sen määritelmää ja tulkintoja. Tässä artikkelissa keskitytään funktion näiden osien kuvaamiseen.
Suhde
Relaatio on linkki kahden joukon elementtien välillä. Muodollisemmassa asetelmassa sitä voidaan kuvata kahden joukon X ja Y karteesisen tulon osajoukona. X:n ja Y:n karteesinen tulo, jota merkitään X×Y, on joukko järjestettyjä pareja, jotka koostuvat kahden joukon elementeistä., merkitään usein (x, y). Sarjojen ei tarvitse olla erilaisia. Esimerkiksi A×A:n elementtien osajoukkoa kutsutaan relaatioksi A:ssa.
Toiminto
Funktiot ovat erityinen relaatiotyyppi. Tämä erityinen relaatiotyyppi kuvaa, kuinka yksi elementti kartoitetaan toiseen elementtiin toisessa joukossa tai samassa joukossa. Jotta relaatio olisi funktio, sen on täytettävä kaksi erityistä vaatimusta.
Jokaisella joukon elementillä, josta kukin kartoitus alkaa, on oltava liitetty/linkitetty elementti toisessa joukossa.
Sen joukon elementit, joista kartoitus alkaa, voidaan liittää/linkittää vain yhteen ja vain yhteen elementtiin toisessa joukossa
Joukko, josta relaatio kartoitetaan, tunnetaan nimellä Domain. Joukko, johon relaatio kartoitetaan, tunnetaan nimellä Codomain. Koodomainin elementtien osajoukko, joka sisältää vain suhteeseen linkitetyt elementit, tunnetaan nimellä Range.
Teknisesti funktio on kahden joukon välinen relaatio, jossa jokainen yhden joukon elementti on yksilöllisesti kartoitettu toisen joukon elementtiin.
Huomaa seuraavat asiat
- Jokainen verkkotunnuksen elementti on yhdistetty koodiverkkotunnukseen.
- Useita toimialueen elementtejä on kytketty samaan arvoon koodialueella, mutta yksittäinen toimialueen elementti ei voi olla yhdistetty useampaan kuin yhteen koodialueen elementtiin. (Kartoituksen on oltava yksilöllinen)
- Jos toimialueen jokainen yksittäinen elementti kartoitetaan erillisiksi ja ainutlaatuisiksi elementeiksi koodiverkkotunnuksessa, funktion sanotaan olevan "yksi-yhteen"-funktio.
Codomain sisältää muita elementtejä kuin ne, jotka on liitetty toimialueen elementteihin. Alueen ei tarvitse olla koodiverkkotunnus. Jos koodialue on yhtä suuri kuin alue, funktio tunnetaan "onto"-funktiona
Kun funktion saatavat arvot ovat todellisia, sitä kutsutaan reaalifunktioksi. Koodomainin ja verkkotunnuksen elementit ovat reaalilukuja.
Funktiot merkitään aina muuttujilla. Koodomainin elementtejä edustaa symbolisesti muuttuja. Merkintä f(x) edustaa alueen alkioita. Suhde voidaan esittää lausekkeella muodossa f(x)=x^2. Siinä sanotaan, että verkkotunnuksen elementti on kartoitettu elementin neliöön koodialueen sisällä.
Mitä eroa on funktiolla ja suhteella?
• Funktiot ovat erityinen relaatiotyyppi.
• Relaatio perustuu kahden joukon karteesiseen tuloon.
• Toiminto perustuu suhteisiin tiettyihin ominaisuuksiin.
• Toiminnon toimialue on kartoitettava koodialueeseen siten, että jokaisella elementillä on yksilöllisesti määritetty vastaava arvo koodialueella. Relaatio voi linkittää yhden elementin useisiin arvoihin.
