Erotusyhtälö vs differentiaaliyhtälö
Luonnonilmiö voidaan kuvata matemaattisesti useiden riippumattomien muuttujien ja parametrien funktioilla. Varsinkin kun ne ilmaistaan spatiaalisen sijainnin ja ajan funktiona, tuloksena on yhtälöt. Funktio voi muuttua riippumattomien muuttujien tai parametrien muutoksen myötä. Äärettömän pientä muutosta, joka tapahtuu funktiossa, kun yhtä sen muuttujista muutetaan, kutsutaan funktion derivaatiksi.
Differentiaaliyhtälö on mikä tahansa yhtälö, joka sisältää funktion derivaatat sekä itse funktion. Yksinkertainen differentiaaliyhtälö on Newtonin toisen liikkeen lain kaava. Jos kappale, jonka massa on m, liikkuu kiihtyvyydellä 'a' ja siihen vaikuttaa voimalla F, Newtonin toinen laki kertoo meille, että F=ma. Tässäkin 'a' vaihtelee ajan myötä, voimme kirjoittaa 'a' uudelleen muotoon; a=dv/dt; v on nopeus. Nopeus on tilan ja ajan funktio, eli v=ds/dt; siksi ‘a’=d2s/dt2
Pidäen nämä mielessä voimme kirjoittaa Newtonin toisen lain differentiaaliyhtälöksi;
'F' v:n ja t:n funktiona – F(v, t)=mdv/dt tai
'F' s:n ja t:n funktiona – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
Differentiaaliyhtälöitä on kahdenlaisia; tavallinen differentiaaliyhtälö, lyhennettynä ODE tai osittainen differentiaaliyhtälö, lyhennettynä PDE. Tavallisessa differentiaaliyhtälössä on tavalliset derivaatat (vain yhden muuttujan derivaatat). Osittaisessa differentiaaliyhtälössä on differentiaaliderivaatat (useamman kuin yhden muuttujan derivaatat).
esim. F=m d2s/dt2 on ODE, kun taas α2 d 2u/dx2=du/dt on PDE, sillä on t:n ja x:n derivaatat.
Erotusyhtälö on sama kuin differentiaaliyhtälö, mutta tarkastelemme sitä eri kontekstissa. Differentiaaliyhtälöissä riippumaton muuttuja, kuten aika, otetaan huomioon jatkuvan aikajärjestelmän yhteydessä. Diskreetissä aikajärjestelmässä kutsumme funktiota eroyhtälöksi.
Erotusyhtälö on erojen funktio. Erot riippumattomissa muuttujissa ovat kolmenlaisia; numerosarja, diskreetti dynaaminen järjestelmä ja iteroitu funktio.
Numerosarjassa muutos luodaan rekursiivisesti käyttämällä sääntöä, joka yhdistää sarjan jokaisen numeron sekvenssin aikaisempiin numeroihin.
Erotusyhtälö diskreetissä dynaamisessa järjestelmässä ottaa jonkin verran erillisen tulosignaalin ja tuottaa lähtösignaalin.
Erotusyhtälö on iteroitu kartta iteroidulle funktiolle. Esim. y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))), ….on iteroidun funktion sarja. f(y0) on y0 ensimmäinen iteraatti. k:s iteraatti merkitään fk (y0).
