Siirtyvä omaisuus vs korvaava ominaisuus
Korvausominaisuutta käytetään arvoille tai muuttujille, jotka edustavat numeroita. Tasa-arvon substituutioominaisuus sanoo, että minkä tahansa lukujen a ja b kohdalla, jos a=b, niin a voidaan korvata b:llä. Siksi, jos a=b, voimme muuttaa minkä tahansa 'a':n 'b:ksi' tai minkä tahansa 'b':n 'a:ksi'.
Jos esimerkiksi annetaan, että x=6, voimme ratkaista lausekkeen (x+4)/5 korvaamalla x:n arvon. Korvaamalla x 5:llä yllä olevassa lausekkeessa; (6+4)/5=2. Pohjimmiltaan mitkä tahansa kaksi arvoa voidaan korvata toisillaan, jos ja vain jos ne ovat keskenään yhtä suuret.
Geometriassa on määritelty korvausominaisuus. Tämän korvausominaisuuden määritelmän mukaan, jos kaksi geometristä objektia (se voi olla kaksi kulmaa, segmenttiä, kolmiota tai mitä tahansa) ovat yhteneväisiä, nämä kaksi geometrista objektia voidaan korvata toisella lauseessa, jossa toinen niistä on mukana.
Transitiivinen ominaisuus on muodollisempi määritelmä, joka määritellään binäärisuhteissa. Relaatio R joukosta A joukkoon B on joukko järjestettyjä pareja, jos A ja B ovat yhtä suuret, sanotaan, että relaatio on A:n binäärirelaatio. Transitiivinen ominaisuus on yksi ominaisuuksista (Refleksiivinen, Symmetrinen, Transitiivinen) käytetään määrittämään ekvivalenssisuhteet.
A-relaatio R on transitiivinen, jos ja vain, jos x liittyy R:ään y:ään ja y:n R liittyy z:ään, niin x liittyy R:hen z. Symbolisesti transitiivinen ominaisuus voidaan määritellä seuraavasti. Olkoon a, b ja c, jotka kuuluvat joukkoon A, binäärirelaatiolla '~' on transitiivinen ominaisuus, jonka määrittelee: Jos a ~ b ja b ~ c, niin se tarkoittaa a ~ c.
Esimerkiksi "oleminen suurempi kuin" on transitiivinen relaatio. Jos a, b ja c ovat reaalilukuja, joissa a on suurempi kuin b ja b on suurempi kuin c, niin on looginen seuraus, että a on suurempi kuin c. "Pidempi oleminen" on myös transitiivinen suhde. Jos Kate on pidempi kuin Mary ja Mary on pidempi kuin Jenney, se tarkoittaa, että Kate on pidempi kuin Jenney.
Emme voi soveltaa transitiivisia relaatioehtoja kaikkiin binäärisuhteisiin. Esimerkiksi, jos Bill on Johnin isä ja John on Fredin isä, mikä ei tarkoita, että Bill on Fredin isä. Samoin "tykkäykset" on ei-transitiivinen ominaisuus. Jos Wilson pitää Henrystä ja Henry Davidista, se ei tarkoita, että Wilson pitää Davidista. Siksi se ei ole transitiivinen relaatio.
Geometriassa transitiivinen ominaisuus (kolmelle segmentille tai kulmille) määritellään seuraavasti:
Jos kaksi segmenttiä (tai kulmaa) ovat kumpikin yhteneväisiä kolmannen segmentin (tai kulman) kanssa, ne ovat yhteneväisiä keskenään.
Tasa-arvon transitiivinen ominaisuus määritellään seuraavasti. Olkoot a, b ja c mitkä tahansa kolme alkiota joukossa A siten, että a=b ja b=c, sitten a=c. Tämä näyttää samanlaiselta kuin korvausominaisuus, jonka voidaan katsoa korvaavan b:llä c:llä yhtälössä a=b. Nämä kaksi ominaisuutta eivät kuitenkaan ole samoja.
