Echelon-lomake vs. supistettu Echelon-lomake
Gaussin eliminointiprosessin useiden vaiheiden suorittamisen jälkeen saadun matriisin sanotaan olevan taso- tai rivi-echelon-muodossa.
Echelon-muodossa olevalla matriisilla on seuraavat ominaisuudet.
• Kaikki rivit, joissa on nolla, ovat alhaalla
• Ensimmäiset nollasta poikkeavat arvot nollasta poikkeavilla riveillä siirtyvät oikealle suhteessa edellisen rivin ensimmäiseen nollasta poikkeavaan termiin (katso esimerkki)
• Mikä tahansa nollasta poikkeava rivi alkaa numerolla 1
Seuraavat matriisit ovat echelon-muodossa:
Jatkamalla eliminointiprosessia saadaan matriisi, jossa on kaikki muut sarakkeen termit, jossa 1 on nolla. Tässä muodossa olevan matriisin sanotaan olevan supistetun rivin echelon-muodossa.
Mutta yllä oleva ehto rajoittaa mahdollisuutta käyttää sarakkeita, joiden arvot ovat paitsi 1 ja nolla. Esimerkiksi seuraava on myös supistetun rivin echelon-muodossa.
Supistettu rivimuoto löytyy, kun lineaarista yhtälöjärjestelmää ratkaistaan Gaussin eliminaatiolla. Matriisin kerroinmatriisi tuottaa pelkistetyn rivien ešelonin muodon ja kunkin yksilön ratkaisu/arvot voidaan helposti saada yksinkertaisella laskennalla.
Mitä eroa on Echelon- ja Reduced Echelon -muodolla?
• Rivimuoto on yksi Gaussin eliminointiprosessilla saadun matriisin muoto.
• Rivi echelon -muodossa nollasta poikkeavat elementit ovat oikeassa yläkulmassa ja jokaisella nollasta poikkeavalla rivillä on 1. Ensimmäinen nollasta poikkeava elementti nollasta poikkeavilla riveillä siirtyy oikealle jokaisen rivin jälkeen.
• Gaussin eliminoinnin lisäprosessi antaa vieläkin yksinkertaisemman matriisin, jossa kaikki muut elementit sarakkeessa, jossa on 1, ovat nollia. Tässä muodossa olevan matriisin sanotaan olevan supistetun rivin echelon-muodossa. Eli pelkistetyssä rivimuodossa ei voi olla saraketta, joka sisältää 1:n ja muun arvon kuin nolla.
