Bernoulli vs Binomial
Hyvin usein tosielämässä törmäämme tapahtumiin, joilla on vain kaksi merkitystä. Esimerkiksi joko läpäisimme kohtaamamme työhaastattelun tai epäonnistumme siinä, joko lentomme lähtee ajoissa tai se viivästyy. Kaikissa näissä tilanteissa voimme soveltaa todennäköisyyskäsitettä 'Bernoulli-kokeet'.
Bernoulli
Satunnainen koe, jossa on vain kaksi mahdollista tulosta todennäköisyydellä p ja q; jossa p+q=1, kutsutaan Bernoullin oikeudenkäynneiksi James Bernoullin (1654-1705) kunniaksi. Useimmiten kokeen kahden tuloksen sanotaan olevan "menestys" tai "epäonnistuminen".
Jos harkitsemme esimerkiksi kolikon heittämistä, on kaksi mahdollista lopputulosta, joiden sanotaan olevan "pää" tai "häntä". Jos olemme kiinnostuneita pään putoamisesta; onnistumisen todennäköisyys on 1/2, jota voidaan merkitä P (menestys)=1/2, ja epäonnistumisen todennäköisyys on 1/2. Vastaavasti, kun heitämme kahta noppaa, jos olemme kiinnostuneita vain siitä, että kahden nopan summa on 8, P (Onnistuminen)=5/36 ja P (epäonnistuminen)=1-5/36=31/36.
Bernoulli-prosessi on Bernoulli-kokeiden sarjan esiintyminen itsenäisesti; siksi onnistumisen todennäköisyys pysyy samana jokaisessa kokeessa. Lisäksi kunkin yrityksen epäonnistumisen todennäköisyys on 1-P(onnistuminen).
Koska yksittäiset jäljet ovat riippumattomia, Bernoulli-prosessin tapahtuman todennäköisyys voidaan laskea ottamalla onnistumisen ja epäonnistumisen todennäköisyyksien tulo. Esimerkiksi, jos onnistumisen todennäköisyys [P(S)] on merkitty p:llä ja epäonnistumisen todennäköisyys [P (F)] on merkitty q:lla; sitten P(SSSF)=p3q ja P(FFSS)=p2q2
Binomial
Bernoullin kokeet johtavat binomiaaliseen jakaumaan. Useimmiten ihmiset sekoitetaan kahteen termiin "Bernoulli" ja "Binomial". Binomijakauma on riippumattomien ja tasaisesti jakautuneiden Bernoulli-kokeiden summa. Binomijakaumaa merkitään merkinnällä b(k;n, p); b(k;n, p)=C(n, k)pkqn-k, jossa C(n, k) tunnetaan nimellä binomikerroin. Binomikerroin C(n, k) voidaan laskea kaavalla n!/k!(n-k)!.
Esimerkiksi jos pika-arpajainen 25 % voittolipuilla myydään 10 henkilön kesken, voittolipun ostamisen todennäköisyys on b(1;10, 0.25)=C(10, 1)(0.25)(0,75)9 ≈ 9 x 0,25 x 0,075 ≈ 0,169
Mitä eroa on Bernoullin ja Binomin välillä?
- Bernoullin koe on satunnainen koe, jossa on vain kaksi mahdollista tulosta.
- Binomiaalinen koe on sarja Bernoulli-kokeita, jotka suoritetaan itsenäisesti.
